Dada a função f(x) = x² - 6x + 9, determine: a) os coeficientes, a concavidade da parábola e onde intercepta (corta) no eixo y; b) as raízes da função ou zeros da função (onde corta no eixo x; c) vértice da função d) o gráfico da função, indicando todos os elementos. Para facilitar a construção dos gráficos poderá ser utilizado o papel milimetrado. Lembre-se que todos os gráficos devem ser realizados a mão e devidamente organizados.
Respostas
Resposta:
a) a = 1 ; b = - 6 ; c = 9
Concavidade virada para cima
B ( 0; 9 ) interseção eixo y
b) raízes x = 3
corta eixo x no ponto A ( 3; 0 )
c) vértice V ( 3 ; 0 )
d) gráfico em anexo
Explicação passo-a-passo:
Dados:
f(x) = x²- 6x + 9
Pedidos:
a ) coeficientes ; concavidade da parábola ; interseção com eixo y
b ) raízes da função = onde interseta o eixo x
c ) vértice
d ) gráfico da função, incluindo todos estes elementos
Resolução:
Observação 1 → Equações do 2º grau completas, são do tipo
f (x) = ax² + bx + c onde a; b; c ∈ |R e a ≠ 0
f(x) = x²- 6x + 9
a ) coeficientes
a = 1
b = - 6
c = 9
Observação 2 → Coeficientes " invisíveis "
Quando temos x² , o coeficiente é "+ 1 " .
Não está lá escrito, mas a sua ausência significa que não é obrigatório o colocar lá.
Convenções que os matemáticos arranjam para simplificar a escrita simbólica .
Mas quando precisamos dele , o"+ 1 " tem que ser levado em conta.
Concavidade da parábola
O "descobrir" como é a concavidade de uma parábola, é fácil .
Basta olhar para o sinal do coeficiente "a"
Se a > 0, logo positivo então a concavidade está virada para cima
Se a < 0, logo negativo então a concavidade está virada para baixo
Neste caso a = + 1 , portanto a > 0 , concavidade virada para cima.
Interseção com eixo y
Os pontos que são interseção com eixo y têm todos as seguintes
coordenadas ( 0 ; termo independente )
Esta tem ( 0 ; 9 )
b) raízes
Obtém-se igualando , a zero , a expressão da função
x²- 6x + 9 = 0
Observação 3 → Produto notável
A expressão pode tomar a forma:
x²- 2 *x*3 + 3² = 0
Mas isto x²- 2 *x*3 + 3² é um Produto Potável → o quadrado de uma
diferença
x²- 2 *x*3 + 3² = 0
⇔
( x - 3 )² = 0
( x - 3 ) * ( x - 3) = 0
⇔
x - 3 = 0 ∨ x - 3 = 0
x = 3 ∨ x = 3 tem portanto uma solução única , mas que se chama dupla.
Este modo de resolução particular de algumas equações do 2º grau não
impede que todas elas possam ser resolvidas pela fórmula de Bhascara.
Interseção com eixo x.
São os pontos de coordenadas ( raiz da função ; 0 )
Aqui é ( 3 ; 0 )
c) Vértice
Há várias maneiras do o calcular.
Prova-se que vértice se obtém a partir de duas pequenas fórmulas
( calculo do Δ = b² - 4 * a * c ⇔ Δ = ( - 6 )²- 4 * 1 * 9 ⇔ Δ = 36 - 36 = 0
vértice ( )
vértice ( )
vértice ( 3 , 0 )
Observação 4 → Coincidências de equação do 2º grau com uma única raiz
As coordenadas do vértice , do ponto de interseção eixo "x" e da raiz da
expressão estão todas no ponto ( 3 ; 0 ) aqui marcado com V ( de vértice ).
Isto acontece sempre que a função do 2º grau tenha uma única raiz.
Neste caso x = 3.
Quando fizer o seu gráfico coloque V = B.
Bom estudo :
------------------------------------
Sinais : ( Δ ) delta, é uma letra grega ; é a letra para o binómio discriminante.
Δ = b² - 4 * a * c
( * ) multiplicação ( ⇔ ) equivalente ( ∨ ) ou
Explicação passo-a-passo:
a) a = 1 ; b = - 6 ; c = 9
Concavidade virada para cima
B ( 0; 9 ) interseção eixo y
b) raízes x = 3
corta eixo x no ponto A ( 3; 0 )
c) vértice V ( 3 ; 0 )
d) gráfico em anexo
Explicação passo-a-passo:
Dados:
f(x) = x²- 6x + 9
Pedidos:
a ) coeficientes ; concavidade da parábola ; interseção com eixo y
b ) raízes da função = onde interseta o eixo x
c ) vértice
d ) gráfico da função, incluindo todos estes elementos
Resolução:
Observação 1 → Equações do 2º grau completas, são do tipo
f (x) = ax² + bx + c onde a; b; c ∈ |R e a ≠ 0
f(x) = x²- 6x + 9
a ) coeficientes
a = 1
b = - 6
c = 9
Observação 2 → Coeficientes " invisíveis "
Quando temos x² , o coeficiente é "+ 1 " .
Não está lá escrito, mas a sua ausência significa que não é obrigatório o colocar lá.
Convenções que os matemáticos arranjam para simplificar a escrita simbólica .
Mas quando precisamos dele , o"+ 1 " tem que ser levado em conta.
Concavidade da parábola
O "descobrir" como é a concavidade de uma parábola, é fácil .
Basta olhar para o sinal do coeficiente "a"
Se a > 0, logo positivo então a concavidade está virada para cima
Se a < 0, logo negativo então a concavidade está virada para baixo
Neste caso a = + 1 , portanto a > 0 , concavidade virada para cima.
Interseção com eixo y
Os pontos que são interseção com eixo y têm todos as seguintes
coordenadas ( 0 ; termo independente )
Esta tem ( 0 ; 9 )
b) raízes
Obtém-se igualando , a zero , a expressão da função
x²- 6x + 9 = 0
Observação 3 → Produto notável
A expressão pode tomar a forma:
x²- 2 *x*3 + 3² = 0
Mas isto x²- 2 *x*3 + 3² é um Produto Potável → o quadrado de uma
diferença
x²- 2 *x*3 + 3² = 0
⇔
( x - 3 )² = 0
( x - 3 ) * ( x - 3) = 0
⇔
x - 3 = 0 ∨ x - 3 = 0
x = 3 ∨ x = 3 tem portanto uma solução única , mas que se chama dupla.
Este modo de resolução particular de algumas equações do 2º grau não
impede que todas elas possam ser resolvidas pela fórmula de Bhascara.
Interseção com eixo x.
São os pontos de coordenadas ( raiz da função ; 0 )
Aqui é ( 3 ; 0 )
c) Vértice
Há várias maneiras do o calcular.
Prova-se que vértice se obtém a partir de duas pequenas fórmulas
( calculo do Δ = b² - 4 * a * c ⇔ Δ = ( - 6 )²- 4 * 1 * 9 ⇔ Δ = 36 - 36 = 0
vértice ( -\frac{b}{2a} ; -\frac{delta}{4a}−
2a
b
;−
4a
delta
)
vértice ( -\frac{- 6}{2*1} ; - \frac{0}{4*1}−
2∗1
−6
;−
4∗1
0
)
vértice ( 3 , 0 )
Observação 4 → Coincidências de equação do 2º grau com uma única raiz
As coordenadas do vértice , do ponto de interseção eixo "x" e da raiz da
expressão estão todas no ponto ( 3 ; 0 ) aqui marcado com V ( de vértice ).
Isto acontece sempre que a função do 2º grau tenha uma única raiz.
Neste caso x = 3.
Quando fizer o seu gráfico coloque V = B.
Bom estudo :
------------------------------------
Sinais : ( Δ ) delta, é uma letra grega ; é a letra para o binómio discriminante.
Δ = b² - 4 * a * c
( * ) multiplicação ( ⇔ ) equivalente ( ∨ ) ou