Question

Sendo u e v, vetores do espaço com v diferente de 0 determinar o numero real r tal que u -rv seja ortogonal a v ......

 

a resposta é r=u.v

                            |v|²

 

não consigo explicar como chegaria nesse resultado.

Answer 1

Olá, Carlos.

 

Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto interno entre eles é nulo.

 

Para que  $<var>u-rv, r \in \mathbb{R},</var>$  e  $v$  sejam ortogonais devemos ter:

 

$<var>(u-rv) \cdot v = 0 \Rightarrow u\cdot v - r(v\cdot v)= 0 \Rightarrow r|v|^2 = u\cdot v \Rightarrow \boxed{r= \frac{u\cdot v}{|v|^2}}</var>$

 

 

Observação: (demonstração de uma passagem utilizada acima)

 

$<var>v\cdot v=(v_1,v_2,...,v_n) \cdot (v_1,v_2,...,v_n), v_k \in \mathbb{R}, k=1,...,n, k \in \mathbb{N} = \\\\ =v_1^2+v_2^2+...+v_n^2\\\\ \text{Como }|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2},\text{ ent\~ao }v\cdot v=|v|^2</var>$