Question

(UFV – MG) As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo são dadas pelas raízes da equação X² – 24x + 135 = 0. A área desse triângulo é?

Answer 1

Resposta:

x² - 24x + 135 = 0

a = 1, b = -24, c = 135

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (-24)² - 4.1.135

∆ = 576 - 540

∆ = 36

x' = -b + √∆

2.a

x' = 24 + √36

2.1

x' = 24 + 6

2

x' = 30

2

x' = 15

x" = -b - √∆

2.a

x" = 24 - √36

2.1

x" = 24 - 6

2

x" = 18

2

x" = 9

A medida da hipotenusa é 15 e a medida de um dos dois catetos é 9, vamos descobrir a medida do outro cateto:

a = hipotenusa

b = cateto

c = cateto

a² = b² + c²

Vamos substituir um dos dois catetos:

15² = 9² + c²

225 = 81 + c²

Inverter a conta:

c² = 225 - 81

c² = 144

Para remover o ², precisa fazer √.

c = √144

c = 12

Área do triângulo retângulo: b . c

2

Área do triângulo retângulo: 9 . 12

2

Área do triângulo retângulo: 108

2

Área do triângulo retângulo: 54

Answer 2

Respostas:

Solução:

$\sf \displaystyle x^{2} - 24x + 135 = 0$

A equação do 2° grau é uma equação que possui o formato ax² + bx + c = 0, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.

$\sf \displaystyle x^{2} - 24x + 135 = 0$

$\sf \displaystyle Coeficientes: \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = - 24 \\\sf c = 135 \end{cases}$

Determinar o Δ:

$\sf \displaystyle \Delta = b^2 -\:4ac$

$\sf \displaystyle \Delta = (-24)^2 -\: 4 \times 1 \times 135$

$\sf \displaystyle \Delta = 576 - 540$

$\sf \displaystyle \Delta = 36$

Determinar as raízes da equação:

$\sf \displaystyle x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,(-24) \pm \sqrt{ 36 } }{2\times 1}$

$\sf \displaystyle x = \dfrac{24 \pm 6 }{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{24 + 6}{2} = \dfrac{30}{2} = 15 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{24 - 6}{2} = \dfrac{18}{2} = 9\end{cases}$

Aplicando o Teorema de Pitágoras a figura em anexo, temos:

Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

$\boxed{\sf \displaystyle a^2 = b^2 + c^2 }$

No triângulo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

$\sf \displaystyle y^2 +9^2 = (15)^2$

$\sf \displaystyle y^{2} + 81 = 225$

$\sf \displaystyle y^2 = 225 - 81$

$\sf \displaystyle y^{2} =144$

$\sf \displaystyle y = \sqrt{144}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle y = 12 }$

Determinar a área do triângulo:

$\sf \displaystyle Dados: \begin{cases} \sf A_{\triangle} = \:?\\ \sf b = 9 \\ \sf h = 12 \end{cases}$

Cálculo da área de um triângulo:

$\sf \displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{\text{base }\times \text{altura}}{2} = \dfrac{b \cdot h}{2}$

$\sf \displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{9 \times 12}{2}$

$\sf \displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{108}{2}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle A_{\triangle} = 54~ unidades~ de ~ area }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                                                                          Willyan Taglialenha.

Explicação passo-a-passo: