Question

Lim x-> 0 (1 - 2 cos x + cos 2x)/x^2

Answer 1

             $\displaystyle L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-2\cos x+\cos 2x}{x^2}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos x(\cos x-1)}{x^2}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos x(\cos x-1)(\cos x+1)}{x^2(\cos x+1)}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos x(-\sin^2 x)}{x^2(\cos x+1)}\\ \\ \\ L=-2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{\cos x+1}\cdot \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\\ \\ \\ L=-2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\\ \\ \\ \boxed{L=-1}$

Answer 2

O valor de $\lim_{x \to 0} \frac{1-2cos(x)+cos(2x)}{x^2}$ é igual a -1.

Perceba que ao substituirmos o valor de x = 0 na função $y=\frac{1-2cos(x)+cos(2x)}{x^2}$ obteremos a indeterminação 0/0.

Quando o limite possui indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞ podemos utilizar a regra de L'Hôpital.

Na regra de L'Hôpital precisamos derivar o numerador e o denominador até retirarmos a indeterminação.

Vamos considerar que: f(x) = 1 - 2cos(x) + cos(2x) e g(x) = x².

Sendo assim, temos que a primeira derivada de f e g são:

f'(x) = 2sen(x) - 2sen(2x)

g'(x) = 2x.

Perceba que ainda temos a indeterminação 0/0. Então, a segunda derivada de f e g são:

f''(x) = 2cos(x) - 4cos(2x)

g''(x) = 2.

Agora sim não temos mais a indeterminação. Portanto, o limite é igual a:

$\lim_{x \to 0} \frac{1-2cos(x)+cos(2x)}{x^2}= \lim_{x \to 0} \frac{2cos(x)-4cos(2x)}{2}=\frac{2cos(0)-4cos(2.0)}{2}=\frac{2-4}{2}=-1$.

Para mais informações sobre limite, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/19791302