Question

Uma equação do 2º grau, na incógnita x, é definida por (p+1)x² + 3x – 6= 0. Calcule o valor
de p, para que essa equação possua uma raiz igual a 2

Answer 1

Vamos aplicar a equação de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Mas nesse caso, nossos coeficientes serão: a = p+1, b = 3 e c = -6. Substituindo:

$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot (p+1) \cdot (-6)}}{2 \cdot (p+1)}$

$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 24 \cdot p + 24}}{2 \cdot p+ 2}$

Como queremos uma raiz igual a 2, substituimos o x na equação acima por 2:

$2 = \dfrac{-3 \pm \sqrt{24 \cdot p + 33}}{2 \cdot p+ 2}$

Agora vou passar o denominador da equação multiplicando para o lado esquerdo:

$2 \cdot (2 \cdot p + 2) = -3 \pm \sqrt{24 \cdot p + 33}$

Fazendo a distributiva no lado esquerdo:

$4 \cdot p + 4 = -3 \pm \sqrt{24 \cdot p + 33}$

Passo o -3 para a esquerda da igualdade:

$4 \cdot p + 4 + 3= \pm \sqrt{24 \cdot p + 33}$

$4 \cdot p + 7 = \pm \sqrt{24 \cdot p + 33}$

Agora, para eu me livrar dessa raiz quadrada do lado direito, vou elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

$(4 \cdot p + 7)^2 = \sqrt{24 \cdot p + 33}^2$

Com isso a raiz quadrada se anula com o expoente 2:

$(4 \cdot p + 7)^2 = 24 \cdot p + 33$

$(4 \cdot p + 7) \cdot (4 \cdot p + 7) = 24 \cdot p + 33$

Fazendo a distributiva:

$16 \cdot p^2 + 56 \cdot p + 49 = 24 \cdot p + 33$

Passando tudo para a esquerda:

$16 \cdot p^2 + 32 \cdot p + 16 = 0$

Tirando o 16 (comum a todos os termos) em evidência:

$16 \cdot (p^2 + 2 \cdot p + 1) = 0$

Se passarmos o 16 dividindo para o outro lado, continuará sendo zero:

$p^2 + 2 \cdot p + 1 = 0$

Ou seja, chegamos em uma nova equação do segundo grau, agora, podemos utilizar Bháskara novamente, com a = 1, b = 2 e c = 1. Calculando a raiz dessa equação nos dará o valor de p desejado:

$p = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$p = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

$p = \dfrac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}$

$p = \dfrac{-2 \pm 0}{2}$

$p = \dfrac{-2}{2}$

$\boxed{p = -1}$

Com isso teremos a equação inicial assim:

$(-1 + 1) \cdot x^2 + 3 \cdot x - 6 = 0$

$0 \cdot x^3 + 3 \cdot x - 6 = 0$

$3 \cdot x - 6 = 0$

Cuja raiz é igual a 2.