Question

a expressão (*raiz de 3* + i) *elevado a 6* onde i é a unidade imaginaria dos numeros complexos, é igual a: 

a) -64 
b) 64
c) 64i
d) -64i
e) -1

O professor deu a resposta, mas não entendi nada de como fazer o calculo.

Answer 1

Lembrando:

Quadrado da soma de 2 termos: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
Cubo da soma de 2 termos: $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Potências de i utilizadas:
$i^{2}=-1\\i^{3}=-i$
_________________________

$(\sqrt{3}+i)^{6}=[(\sqrt{3}+i)^{2}]^{3}$

Resolvendo (√3 + i)²:

$(\sqrt{3}+i)^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2*\sqrt{3}*i+i^{2}\\(\sqrt{3}+i)^{2}=3+2i\sqrt{3}-1\\(\sqrt{3}+i)^{2}=2+2i\sqrt{3}$
_________________________

$(\sqrt{3}+i)^{6}=(2+2i\sqrt{3})^{3}$

Resolvendo esse cubo da soma:

$(2+2i\sqrt{3})^{3}=2^{3}+3.2^{2}.2i\sqrt{3}+3.2.(2i\sqrt{3})^{2}+(2i\sqrt{3})^{3}\\(2+2i\sqrt{3})^{3}=8+24i\sqrt{3}+6.4i^{2}.3+8i^{3}.\sqrt{3}^{3}\\(2+2i\sqrt{3})^{3}=8+24i\sqrt{3}+72(-1)+8(-i).\sqrt{3}^{2}.\sqrt{3}\\(2+2i\sqrt{3})^{3}=8+24i\sqrt{3}-72-8.3i\sqrt{3}\\(2+2i\sqrt{3})^{3}=8+24i\sqrt{3}-72-24i\sqrt{3}\\(2+2i\sqrt{3})^{3}=8-72\\(2+2i\sqrt{3})^{3}=-64$

Letra A

Answer 2

A expressão (√3 + i)⁶ é igual a -64.

Os números complexos em sua forma algébrica são escritos da forma z = a + bi, onde i é a unidade imaginária (i² = -1).

Podemos reescrever a expressão dividindo o expoente por 2, ou seja:

((√3 + i)²)³

Utilizando as expressões para o quadrado e o cubo da soma de dois termos, temos:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Logo, temos:

(√3 + i)² = √3² + 2√3.i + i²

(√3 + i)² = 3 + 2√3.i - 1

(√3 + i)² = 2 + 2√3.i

Agora, temos:

(2 + 2√3.i)³ = 2³ + 3.2².2√3.i + 3.2.(2√3.i)² + (2√3.i)³

(2 + 2√3.i)³ = 8 + 24√3.i + 6.12.i² + 24√3.i³

(2 + 2√3.i)³ = 8 + 24√3.i + 72.(-1) + 24√3.i².i

(2 + 2√3.i)³ = 8 + 24√3.i - 72 - 24√3.i

(2 + 2√3.i)³ = 8 - 72

(2 + 2√3.i)³ = -64

Resposta: A

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