Question

02- A soma das áreas de dois quadrados e 73 cm. Sabendo que a diferença entre as medidas
dos lados desses quadrados é 5 cm, determine o perímetro de cada quadrado.​

Answer 1

Resposta:

Perímetro do:

→ Quadrado maior = $\large\text{ \sf{\green{32~cm}} }$

→ Quadrado menor = $\large\text{ \sf{\green{12~cm}} }$

Explicação:

A área de um quadrado é calculada pela multiplicação de dois lados (todos os lados do quadrado são iguais):

$\large\text{ \boxed{\sf{A~=~L~.~L}} }$

Para não nos confundirmos, vamos chamar o quadrado maior de "Q" e o quadrado menor de "q".

Área do 1º quadrado:

Não sabemos quanto mede o lado do quadrado maior, então consideramos como sendo "x":

$\large\text{ \sf{L_{Q}~=~x} }$

A área é:

$\large\text{ \sf{A_{Q}~=~x~.~x~} }$

$\large\text{ \sf{A_{Q}~=~\red{x^2}} }$

Área do 2º quadrado:

O quadrado menor tem uma diferença de 5 cm no lado, então mede "x-5":

$\large\text{ \sf{L_{q}~=~x~-~5} }$

A área é:

$\large\text{ \sf{A_{q}~=~(x~-~5)~.~(x~-~5)} }$

$\large\text{ \sf{A_{q}~=~(x~-~5)^2} }$

Resolvendo esse quadrado da diferença (quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo):

$\large\text{ \sf{A_{q}~=~x^2~-~2~.~x~.~5~+~5^2} }$

$\large\text{ \blue{\sf{A_{q}~=~\blue{x^2~-~10x~+~25}}} }$

A soma das áreas dos dois quadrados é 73 cm:

$\large\text{ \sf{A_{Q}~+~A_{q}~= 73} }$

$\large\text{ \sf{\red{x^2}~+~\blue{x^2~-~10x~+~25}~=~73} }$

$\large\sf{2x^2~-~10x~+~25~-~73~=~0}$

$\large\sf{2x^2~-~10x~-~48~=~0}$

Chegamos em uma equação do 2º grau. Vamos resolver através de Bhaskara:

$\large\sf{2x^2~-~10x~-~48~=~0}$

$\large\sf{a = 2}$

$\large\sf{b = -~10}$

$\large\sf{c = -~48}$

$\large\sf{\Delta~=~b^2~-~4~.~a~.~c}$

$\large\sf{\Delta~=~(-10)^2~-~4~.~2~.~(-48)}$

$\large\sf{\Delta~=~100~+~384}$

$\large\sf{\Delta~=~484}$

$\large\text{ \sf{x~=~\dfrac{-b~\pm~\sqrt{\Delta}}{2~.~a}} }$

$\large\text{ \sf{x~=~\dfrac{-(-10)~\pm~\sqrt{484}}{2~.~2}} }$

$\large\text{ \sf{x~=~\dfrac{10~\pm~22}{4}} }$

$\large\text{ \sf{x_{1}~=~\dfrac{10~+~22}{4}}~=~\dfrac{32}{4}~=~\boxed{\sf{\green{8}}} }$

$\large\text{ \sf{x_{2}~=~\dfrac{10~-~22}{4}}~=~\dfrac{-12}{4}~=~-3 }$

Desconsideramos o resultado negativo.

Como o lado do quadrado maior mede x, então $\large\text{ \sf{\green{8~cm}} }$ é o valor do lado do quadrado maior.

Substituindo x = 8 na equação do lado do quadrado menor:

$\large\text{ \sf{L_{q}~=~x~-~5} }$

$\large\text{ \sf{L_{q}~=~8~-~5} }$

$\large\text{ \sf{L_{q}~=~\boxed{\sf{\green{3~cm}}}} }$

$\large\text{ \sf{\green{3~cm}} }$ é o valor do lado do quadrado menor.

O perímetro é a soma de todos os lados e o quadrado tem 4 lados.

$\large\text{ \boxed{\sf{P~=~L_{1}~+~L_{2}~+~L_{3}~+~L_{4}}} }$

Perímetro do quadrado maior:

O lado desse quadrado mede 8 cm, então o perímetro é:

$\large\text{ \sf{P_{Q}~=~8~+~8~+~8~+~8~=~\boxed{\boxed{\sf{\green{32~cm}}}}} }$

Perímetro do quadrado menor:

O lado desse quadrado mede 3 cm, então o perímetro é:

$\large\text{ \sf{P_{q}~=~3~+~3~+~3~+~3~=~\boxed{\boxed{\sf{\green{12~cm}}}}} }$