Question

Construa uma circunferência de raio r. Trace dois diâmetros, AC e BD, perpendiculares entre si. Determine a diferença entre o comprimento da circunferência e perímetro do quadrado ABCD em função de r. (Use raiz quadrada de 2 = 1,41.)

Answer 1

Raio da circunferência = r
AC = 2r
BD = 2r
>AC e BD formam as duas diagonais do quadrado.
>A diagonal de um quadrado é congruente com sua bissetriz.
>Logo: Será formado dois triângulos retângulos isósceles quando cortado por apenas uma de suas diagonais.

De acordo com a lei dos Senos:

Seno=Cateto oposto / Hipotenusa
Cateto oposto = um dos lados = L
Hipotenusa = Diagonal = 2r
Seno de 45º = (√2) / 2

(√2) / 2 = L / 2r
(√2) . 2r = 2L
(√2) . r = L
L = (√2) . r

Os lados do quadrado serão (√2) . r , seu perímetro será:
4(√2).r
4r√2 (Lembrando que √2 = 1,41)
4 . 1,41 . r

=5,64r


Comprimento da Circunferência = 2$\pi$r

Resposta = 2$\pi$r - 5,64r

Answer 2

A diferença entre o comprimento da circunferência e perímetro do quadrado ABCD em função de r é 0,64.r.

Sabemos que a circunferência de raio r tem comprimento dado pela expressão C = 2πr. Os lados do quadrado formado pelos dois diâmetros podem ser comparados a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde os catetos são os raios, logo, o lado do quadrado mede:

L² = r² + r²

L² = 2.r²

L = r√2

L = 1,41.r

O perímetro do quadrado será 4 vezes o valor do lado, logo:

P = 4.L

P = 5,64.r

Sendo π = 3,14, temos que a diferença entre o comprimento da circunferência e o perímetro do quadrado é:

x = 2.3,14.r - 5,64.r

x = 6,28.r - 5,64.r

x = 0,64.r

A circunferência e o quadrado estão descritos na imagem abaixo.

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