Question

2. Dado a matriz A=[ 1 0 5]
[ 3 2 1]
[–1 5 3]

a) a12 – a23=

b) Os elementos da diagonal principal;

c) Os elementos da diagonal secundaria;

d) A diferença da soma dos elementos da diagonal principal pela diagonal secundaria.​

Answer 1

Para uma matriz quadrada, quando temos o número de linhas igual ao número de colunas, temos a diagonal principal e a diagonal secundária.

A diagonal principal é formada por todo elemento que tem seu índice de linha ("i") igual ao índice de coluna ("j"), por exemplo: a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., aₓₓ.

Já a diagonal secundária é formada por todo elemento em que a soma dos índices de linha e de coluna ("i" e "j") são iguais à ordem da matriz somada a 1, então, por exemplo, se tivermos uma matriz de ordem 4, diagonal secundária será formada pelos elementos em que tivermos i+j=5 (a₁₄ a₂₃ a₃₂ e a₄₁ ).

No entanto, fica mais simples identifica-las de forma gráfica, ou seja, observando a matriz. Abaixo, vemos na primeira matriz os elementos da diagonal principal destacados e, na segunda, os da diagonal secundária.

$\left[\begin{array}{c c c c c}\boxed{\sf a_{11}} &\sf a_{12}&\sf a_{13}&\hdots&\sf a_{1n}\\\sf a_{21}&\boxed{\sf a_{22}}&\sf a_{23}&\hdots&\sf a_{2n}\\\sf a_{31}&\sf a_{32}&\boxed{\sf a_{33}}&\hdots&\sf a_{3n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\sf \ddots&\vdots\\\sf a_{n1}&\sf a_{n2}&\sf a_{n3}&\hdots&\boxed{\sf a_{nn}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c c c c c}\sf a_{11} &\hdots&\sf a_{1\,n-2}&\sf a_{1\,n-1}&\boxed{\sf a_{1n}}\\\sf a_{21}&\hdots&\sf a_{2\,n-2}&\boxed{\sf a_{2\,n-1}}&\sf a_{2n}\\\sf a_{31}&\hdots&\boxed{\sf a_{3\,n-2}}&\sf a_{3\,n-1}&\sf a_{3n}\\\vdots&\ddots&\vdots&\sf \vdots&\vdots\\\boxed{\sf a_{n1}}&\hdots&\sf a_{n\,n-2}&\sf a_{n\,n-1}&\sf a_{nn}\end{array}\right]$

Dito isso, vamos ao que é solicitado.

a)

O elemento a₁₂, elemento posicionado na linha 1 coluna 2, vale 0, já a₂₃, posicionado na linha 2 coluna 3, vale 1, portanto:

$\sf a_{12}~-~a_{23}~=~0~-~ 1\\\\\boxed{\sf a_{12}~-~a_{23}~=\,- 1}$

(b) e (c)

Utilizando os conceitos explicados no começo desta resolução, temos:

$\boxed{\begin{array}{lcl}\sf Diagonal~Principal&:&\sf\{1~,~2~,~3\}\\\\\sf Diagonal~Secundaria&:&\sf \{5~,~2~,\,-1\}\end{array} }$

d)

* Somando-se os elementos da diagonal principal, temos:  $\sf \boxed{\sf 1+2+3=\,6}$

Somando-se os elementos da diagonal secundária, temos:  $\sf \boxed{\sf 5+2-1=\,6}$

Portanto a diferença da soma dos elementos da diagonal principal pela diagonal secundaria resultará em:

$\sf Soma_{diag.\,princ.}~-~Soma_{diag.sec.}~=~6~-~6\\\\\boxed{\sf Soma_{diag.\,princ.}~-~Soma_{diag.sec.}~=~0}$

* A soma dos elementos da diagonal principal é chamada de traço da matriz.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$

Answer 2

$\large\begin{array}{lr} \blue{\sf Item\ a)}\end{array}$

Para calcular o item a devemos primeiramente criar uma matriz genérica 3x3 e comparar os termos da matriz dada. Caso não tenha entendido veja:

$\large \sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&\underline{\boxed{a_{12}}}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&\underline{\boxed{a_{23}}}\\a_{31}&a_{32&a_{33}\end{array}\right] \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&\underline{\boxed{0}}}&5\\3&2&\underline{\boxed{1}}\\-1&5&3\end{array}\right]$

Perceba que o termo a12 é igual a 0 e que o termo a23 é igual a 1, então a12 - a23 é igual à:

$\large\begin{array}{lr} \sf a12 - a23= \\\\\sf 0-1=\\\\= \underline{\boxed{\red{\sf -1}}}\end{array}$

$\large\begin{array}{lr} \blue{\sf Item\ b)}\end{array}$

Para sabermos quais são os elementos da diagonal principal iremos criar novamente a matriz genérica. Veja:

$\large \sf \left[\begin{array}{ccc}\underline{\boxed{a_{11}}}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&\underline{\boxed{a_{22}}}&a_{23}\\a_{31}&a_{32&\underline{\boxed{a_{33}}}\end{array}\right] \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}\underline{\boxed{\sf 1}}&0&5\\3&\underline{\boxed{\sf 2}}&{1}\\-1&5&\underline{\boxed{\sf 3}}\end{array}\right]$

Perceba que os termos da diagonal principal são respectivamente:

$\large\underline{\boxed{\red{ \sf 1,2, 3 }}}$

$\large\begin{array}{lr} \blue{\sf Item\ c)}\end{array}$

Iremos agora fazer a mesma coisa que fizemos no item b só que agora iremos achar a diagonal secundária. Veja:

$\large \sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&\underline{\boxed{a_{13}}}\\a_{21}&\underline{\boxed{a_{22}}}&a_{23}\\\underline{\boxed{a_{31}}}&a_{32&a_{33}\end{array}\right] \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}\sf 1&0&\underline{\boxed{\sf 5}}\\3& \underline{\boxed{\sf 2}}&1\\\underline{\boxed{\sf -1}}&5&3\end{array}\right]$

Perceba que os termos da diagonal secundária são respectivamente:

$\large\underline{\boxed{\red{ \sf 5,2, -1 }}}$

$\large\begin{array}{lr} \blue{\sf Item\ d)}\end{array}$

Para calcularmos a diferença da soma da DP com a DS devemos somar cada termo dentro da DP e subtrair pela soma de cada termo da DS. Ficando assim:

$\large\begin{array}{lr} \sf DP= 1+2+3= 6\\\\\sf DS= 5+2+(-1)=6\\\\\sf DP-DS= 6-6\\\\\sf DP - DS=\underline{\boxed{\red{ \sf 0}}}\end{array}$

Espero ter ajudado.

Bons estudos.

• Att. FireClassis.