Question

Me AJUDEMMM!!!!!!!!

Na figura a seguir, os triângulos ACB e BDA são congruentes, o segmento de extremos A e B é diâmetro da circunferência de centro O, e C e D são pontos dessa circunferência.

Sobre essa figura considere as três afirmações:
I. Os triângulos ACQ e BDQ são retângulos.
II. Os triângulos ACQ e BDQ são congruentes.
III. O triângulo ABQ é isósceles.
É(São) verdadeira(s) a(s) afirmação(ões)
A
I, apenas.
B
I e II, apenas.
C
I e III, apenas.
D
II e III, apenas.
E
I, II e III.

Answer 1

I. Os triângulos ACQ e BDQ são retângulos. Verdadeira.

Aqui, para demonstrar essa propriedade, considere primeiro um triângulo formado pelos vértices C, O e B, como na primeira figura em anexo.

Nesse caso, os segmentos, $\overline{OC}$ e $\overline{OB}$, medem o raio da circunferência, r.

Podemos encontrar uma expressão para o segmento $\overline{BC}$, utiliza-se a lei dos cossenos:

$\overline{BC}^2 = \overline{OC}^2 + \overline{OB}^2 - 2 \cdot \overline{OC} \cdot \overline{OB} \cdot \cos(\alpha)$

Substituindo:

$\overline{BC}^2 =r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(\alpha)$

$\overline{BC}^2 =2 \cdot r^2- 2 \cdot r^2 \cdot \cos(\alpha)$

ou:

$\overline{BC}^2 =2 \cdot r^2 \cdot (1 - \cos(\alpha))$

Agora considere, o triângulo formado pelos vértices A,C e O, como na segunda figura em anexo.

Nesse caso, o ângulo $\beta$ é o suplemento do ângulo $\alpha$, isto é:

$\beta = 180^{o} - \alpha$

Os segmentos $\overline{OC}$ e $\overline{OA}$ ambos medem o raio da circunferência, utilizando a lei dos cossenos novamente, podemos obter uma expressão para o segmento $\overline{AC}$:

$\overline{AC}^2 = \overline{OC}^2 + \overline{OA}^2 - 2 \cdot \overline{OC} \cdot \overline{OA} \cdot \cos(\beta)$

Substituindo:

$\overline{AC}^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(180^{o} - \alpha)$

$\overline{AC}^2 = 2 \cdot r^2 - 2 \cdot r^2 \cdot \cos(180^{o} - \alpha)$

$\overline{AC}^2 = 2 \cdot r^2 \cdot (1 - \cos(180^{o} - \alpha))$

Ok, mas agora lembre da propriedade da adição de arcos no cosseno:

$\cos(a\pm b) = \cos(a) \cdot \cos(b) \mp \sin(a) \cdot \sin(b)$

Então, nesse caso:

$\cos(180^{o} - \alpha)) = \cos(180^{o}) \cdot \cos(\alpha) + \sin(180^{o}) \cdot \sin(\alpha)$

$\cos(180^{o} - \alpha)) = -1 \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha)$

$\cos(180^{o} - \alpha)) = - \cos(\alpha)$

Substituindo na equação anterior:

$\overline{AC}^2 = 2 \cdot r^2 \cdot (1 - (-\cos(\alpha)))$

$\overline{AC}^2 = 2 \cdot r^2 \cdot (1 + \cos(\alpha))$

Agora nós aplicamos a Lei dos cossenos uma terceira vez, mas com relação ao triângulo formado pelos vértices A, B e C, como na terceira figura em anexo:

$\overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \cos(\gamma)$

O segmento $\overline{AB}$ tem medida igual ao dobro do raio, ou diâmetro da circunferência. Substituindo:

$(2 \cdot r)^2 = 2 \cdot r^2 \cdot (1+ \cos(\alpha)) + 2 \cdot r^2 \cdot (1 -\cos(\alpha)) - 2 \cdot \sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1+ \cos(\alpha))} \cdot \sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1- \cos(\alpha))} \cdot \cos(\gamma)$

$4 \cdot r^2 = 2 \cdot r^2 + 2 \cdot r^2 \cdot \cos(\alpha) + 2 \cdot r^2 - 2 \cdot r^2 \cdot \cos(\alpha)) - 2 \cdot \sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1+ \cos(\alpha))} \cdot \sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1- \cos(\alpha))} \cdot \cos(\gamma)$

Perceba que vários termos se anulam.

$- 2 \cdot \sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1+ \cos(\alpha))} \cdot \sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1- \cos(\alpha))} \cdot \cos(\gamma) = 0$

Para que essa igualdade ocorra, precisamos que:

$\cos(\gamma) = 0$

E, nesse caso:

$\boxed{\gamma = 90^{o}}$

Ou seja, o ângulo entre $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ é reto, e por Q estar localizado no segmento

Agora, por uma questão de simetria, já que ACB e BDA são congruentes, temos que BDQ é retângulo também, fazendo com que essa afirmativa seja verdadeira.

II. Os triângulos ACQ e BDQ são congruentes. Verdadeira

Pela mesma simetria criada entre os triângulos maiores, é fácil perceber que esses dois triângulos sejam congruentes também.

III. O triângulo ABQ é isósceles. Verdadeira

Isósceles é um triângulo com dois lados iguais.

Aqui, independente da posição dos pontos C e D, como há essa condição da congruência dos triângulos, o ponto Q sempre estará localizado sobre o eixo y.

Com, isso, os segmentos $\overline{AQ}$ e $\overline{BQ}$, terão sempre as mesmas medidas, fazendo com que o triângulo ABQ seja isósceles.

Assim, a alternativa E é a opção correta.

Answer 2

Resposta:

Alternativa E

Explicação passo a passo:

PLURALL