Question

A figura representa um quadrado de lado unitário “inscrito” num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 5. Note que x e y são as medidas dos segmentos determinados pelo quadrado sobre os catetos. Determine o valor de x∙y.

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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

O valor de xy é 1, por semelhança de triângulos.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são chamados de semelhantes se seus ângulos forem congruentes. Como a soma dos ângulos de um triângulo sempre dá 180º, então bastam dois ângulos congruentes para termos a semelhança.

O triângulo BDE é semelhante a EFC, pois os dois tem um ângulo reto e, como os lados do quadrado são paralelos, têm também ângulos correspondentes.

Assim sendo, esses triângulos têm lados proporcionais:

$\frac{x}{1} = \frac{1}{y}\\xy = 1$

Poderíamos obter essa informação a partir dos triângulos BDE e BAC, de onde temos:

$\frac{x}{1} = \frac{x+1}{y+1}\\\\xy + x = x + 1\\\\xy = 1$

Ou ainda dos triângulos EFC e BAC, de onde temos:

$\frac{1}{y} = \frac{x+1}{y+1}\\\\y + 1 = xy + y\\1 = xy$

Veja mais sobre semelhança de triângulos em:

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