Question

3. Calcule a seguinte integral definida:

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a seguinte integral definida:

$\displaystyle{\int_0^5\sqrt{y}\,dy}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da potência, sabendo que $\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}$

$\dfrac{y^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}}~\biggr|_0^5$

Some os valores no expoente e denominador e calcule a fração de frações

$\dfrac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_0^5\\\\\\ \dfrac{2y^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_0^5$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2\cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{2\cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}$

Some as frações

$\dfrac{2\cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral e é a resposta contida na letra c).

Answer 2

$\int\limits^5_0 {\sqrt{y} } \, dy = \int\limits^5_0 {y^{\frac{1}{2} } } \, dy = \int\limits^5_0{\frac{y^{\frac{1}{2}+1} }{\frac{1}{2}+1 } } \, dy= \int\limits^5_0 {\frac{y^{\frac{3}{2} } }{\frac{3}{2} } } \, dy= \int\limits^5_0 {\frac{2y^{\frac{3}{2} }}{3} } \, dx$

como esta definida no intervalo de 0 a 5, vamos realizar a seguinte operação

$\frac{2y^{\frac{3}{2} } }{3}$  de 0 a 5

$[ \frac{2. 5^{\frac{3}{2} } }{3} ]- [ 2. 0^\frac{3}{2} .\frac{1}{3} ]$

=  

$\frac{2.5^{\frac{3}{2} }}{3} - 0$

= $\frac{2}{3} . 5^{\frac{3}{2} }$

Resposta: C