Question

(PUC-RS) Se a matriz $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$ tem inversa, então a det A-1 é?

Answer 1

Propriedade de determinante de matriz invertível:


Considere $\mathbf{A}$ uma matriz quadrada. Se $\mathbf{A}$ possui inversa $\mathbf{A}^{\!\!-1},$ então

$\det(\mathbf{A})\cdot \det(\mathbf{A}^{\!\!-1})=1\;\;\Leftrightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}\det(\mathbf{A}^{\!\!-1})=\dfrac{1}{\det(\mathbf{A})} \end{array}}$

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Consideremos a matriz $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right ].$


O determinante da matriz $\mathbf{A}$ é

$\det(\mathbf{A})=ad-bc$


Portanto, se $\mathbf{A}$ tem inversa, o determinante da matriz inversa de $\mathbf{A}$ é

$\det(\mathbf{A}^{\!\!-1})=\dfrac{1}{\det(\mathbf{A})}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\det(\mathbf{A}^{\!\!-1})=\dfrac{1}{ad-bc} \end{array}}$