b) Por que o número 5 é o único número primo cujo algarismo das unidades vale 5?
Respostas
O conjunto dos números primos é objeto de estudo na matemática desde a Grécia Antiga. Euclides, em seu grande trabalho “Os elementos”, já discutia sobre o assunto conseguindo demonstrar que esse conjunto é infinto. Como sabemos, os números primos são aqueles que possuem como divisor o número 1 e eles mesmos, assim, encontrar números primos muito grandes não é uma tarefa fácil, e o crivo de Eratóstenes facilita esse encontro.
Como saber quando um número é primo?
Sabemos que um número primo é aquele que possui como divisor o número 1 e ele mesmo, sendo assim, um número que, em sua lista de divisores, possuir números além do 1 e de si próprio não será primo, veja:
Ao listar os divisores de 11 e 30, temos:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Veja que o número 11 possui somente o número 1 e a si próprio como divisores, logo, o número 11 é um número primo. Agora, veja os divisores do número 30, ele possui, além do número 1 e de si mesmo, os números 2, 3, 5, 6 e 10 com divisores. Portanto, o número 30 não é primo.
→ Exemplo: Liste os primos menores que 15.
Para isso, listaremos os divisores de todos os números compreendidos entre 2 e 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Desse modo, os primos menores que 15 são:
2, 3, 5, 7, 11 e 13
Convenhamos que essa tarefa não seria muito agradável, por exemplo, se fôssemos escrever todos os primos entre 2 e 100. Para evitá-la, aprenderemos a usar, no próximo tópico, o crivo de Eratóstenes
Crivo de Eratóstenes
O crivo de Eratóstenes é uma ferramenta que tem por objetivo facilitar a determinação de números primos. O crivo consiste em quatro passos, e é necessário, para compreendê-los, ter em mente os critérios de divisibilidade. Antes de iniciarmos o passo a passo, devemos criar uma tabela do número 2 até o número desejado, já que o número 1 não é primo. Então:
→ Passo 1: Do critério de divisibilidade por 2, temos que os números pares são todos divisíveis por ele, ou seja, o número 2 aparecerá na lista de divisores, logo, esses números não serão primos e devemos excluí-los da tabela. São eles:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Passo 2: Do critério de divisibilidade por 3, sabemos que um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos também o é. Assim, devemos excluir esses números da tabela, já que eles não são primos pelo fato da existência de um número além do 1 e dele próprio na listagem de divisores. Assim, devemos excluir os números:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Passo 3: Do critério de divisibilidade por 5, sabemos que todos os números terminados em 0 ou 5 são divisíveis por 5, logo, devemos excluí-los da tabela.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Passo 4: De modo análogo, devemos excluir os números que são múltiplos de 7 da tabela.
14, 21, 28, …, 546, …
– Conhecendo o crivo de Eratóstenes, vamos determinar os primos entre 2 e 100