Question

Resolva a integral xsen5xdx, utilizando o método de integração por partes

Answer 1

$I=\displaystyle\int{x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx}$

Método de integração por partes:

$\begin{array}{ll} u=x\;\;&\;\;du=dx\\ \\ dv=\mathrm{sen\,5}x\,dx\;\;&\;\;v=-\dfrac{1}{5}\cos 5x \end{array}$

Substituindo na fórmula de integração por partes, temos

$\displaystyle\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx}=-\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x-\int{\left(-\dfrac{1}{5}\cos 5x \right )dx}\\ \\ \\ \int{x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx}=-\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x+\dfrac{1}{5}\int{\cos 5x\,dx}\\ \\ \\ \int{x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx}=-\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x+\dfrac{1}{5}\cdot \left(\dfrac{1}{5}\,\mathrm{sen\,}5x \right )+C\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{ccc}\\&\displaystyle\int{x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx}=-\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x+\dfrac{1}{25}\,\mathrm{sen\,}5x+C&\\ \\ \end{array}}$