Question

Como simplificar uma função logaritma usando f(x+h)-f(x)/h?

Answer 1

Consideremos a função $f(x)=\mathrm{\ell n}(x)$ e calculemos a sua razão incremental:

$\dfrac{\Delta f}{h}\,(x,\;h)=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta f}{h}\,(x,\;h)=\dfrac{\mathrm{\ell n}(x+h)-\mathrm{\ell n}(x)}{h}$


Usando uma das propriedade dos logaritmos (diferença de logaritmos é igual ao logaritmo do quociente):

$\dfrac{\Delta f}{h}\,(x,\;h)=\dfrac{\mathrm{\ell n}\left(\frac{x+h}{x} \right )}{h}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta f}{h}\,(x,\;h)=\dfrac{1}{h}\cdot \mathrm{\ell n}\left(\dfrac{x+h}{x} \right )\\ \\ \\ \dfrac{\Delta f}{h}\,(x,\;h)=\dfrac{1}{h}\cdot \mathrm{\ell n}\left(\dfrac{\diagup\!\!\!\! x\cdot (1+\frac{h}{x})}{\diagup\!\!\!\! x} \right )\\ \\ \\ \dfrac{\Delta f}{h}\,(x,\;h)=\dfrac{1}{h}\cdot \mathrm{\ell n}\left(1+\dfrac{h}{x} \right )$


Aplicando outra propriedade dos logaritmos (quando tem algum fator multiplicando o logaritmo, ele pode passar como expoente), chegamos a

$\boxed{\begin{array}{ccc}\\&\dfrac{\Delta f}{h}\,(x,\;h)=\mathrm{\ell n}\left[\left(1+\dfrac{h}{x} \right )^{1/h} \right ]&\\ \\ \end{array}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$