Question

(30 PONTOS) Uma pergunta conceitual sobre funções.
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Eu estava aqui a pensar sobre funções diferenciáveis e me bateu uma dúvida a respeito de um certo limite, quando consideramos um intervalo simétrico em torno de um ponto do domínio:

$\bullet\;\;$ Considere uma função $f:\;D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R},$ e que $[x_{0}-\delta,\;x_{0}+\delta] \subset D,$ com $\delta \ \textgreater \ 0.$

a) Nestas condições, qual o significado do seguinte limite, caso exista?

$\underset{\delta \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{f(x_{0}+\delta)-f(x_{0}-\delta)}{2\delta}$

b) Que semelhanças e diferenças o limite acima tem com a definição usual de derivada no ponto $x_{0}?$ O limite que define a derivada tem a mesma consequência que o limite dado no item a?

c) O que pode acontecer se $f$ não for contínua em $x_{0}?$

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Se possível, responder com exemplos. Obrigado!

Answer 1

Según la parte inicial, en particular la función $f$ está definida en el punto $x_0$

a)

$L=\lim\limits_{\delta\to0^+}\dfrac{[f(x_0+\delta)-f(x_0)]+[f(x_0)-f(x_0-\delta)]}{2\delta}\\ \\ \\ L=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{\delta\to0^+}\dfrac{[f(x_0+\delta)-f(x_0)]+[f(x_0)-f(x_0-\delta)]}{\delta}\\ \\ \\ L=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{\delta\to0^+}\dfrac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}+\dfrac{f(x_0)-f(x_0-\delta)}{\delta}$

$L=\dfrac{1}{2}\left[\lim\limits_{\delta\to0^+}\dfrac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}+\lim\limits_{\delta\to0^+}\dfrac{f(x_0)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]\\ \\ \\ L=\dfrac{1}{2}\left[f'_+(x_0)+f'_-(x_0)\right]$

Donde
$f'_-(x_0)$ es la derivada lateral izquierda.
$f'_+(x_0)$ es la derivada lateral derecha.

Y en el caso que exista la derivada en el punto $x_0$ esto implicaría que $f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$ por tal razón, si el límite del inciso (a) existe, hay dos opciones:
1) que si la derivada en el punto $x_0$ existe, entonces este límite coincide con la derivada en $x_0$

2) que si la derivada en el punto $x_0$ no existe, aún así puede existir el límite del inciso (a)

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(b) Como dije, si la función $f$ tiene derivada en el punto $x_0$ entonces el límite del inciso (a) coincide con $f'(x_0)$

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(c) Tenemos del teorema que: Si una función $\mathbb R\to \mathbb R$ es diferenciable en el punto $x_0$, entonces la función es continua en $x_0$. Y por contraposición se tiene

Si una función no es continua en cierto punto, entonces no es diferenciable en ese mismo punto. 

Además en funciones de una sola variable se sabe que la diferenciabilidad implica que sea derivable y viceversa.

Por ello el límite del inciso (a) puede existir, mientras la derivada en el punto en cuestión no exista, o si existe se tienen valores diferentes.