Question

Jorge que é funcionário de uma escola, percebeu que a idade de seus três filhos (a, b, c) formam uma
progressão aritmética crescente. Se o mais novo deles tivesse um ano a mais ou se o mais velho tivesse
dois anos a mais, as idades deles formariam uma progressão geométrica nos dois casos. Considerando as
informações anteriores, determine a idade dos filhos de Jorge.
(DESAFIO, NINGUÉM CONSEGUIU RESOLVER)

Answer 1

As idades dos filhos de Jorge são: 8, 12 e 16 anos.

Observe algumas propriedades das progressões aritméticas e geométricas:

• Numa progressão aritmética um termo é obtido somando o termo anterior com a razão. Considere a o primeiro termo e r a razão. Os termos dessa PA são: {a, a+r, a+2r …}. Uma das propriedades (P1) é que a soma do primeiro e último termos é igual ao dobro do termo central. Demonstração:

2(a + r) = a + a + 2r

2(a + r) = 2a + 2r

• Numa progressão geométrica um termo é obtido multiplicando-se o termo anterior pela razão. Considere b o primeiro termo e q a razão. Os termos dessa PG são: {b, b⋅q, b⋅q² …}. Uma das propriedades (P2) é que o produto do primeiro e último termos é igual ao quadrado do termo central. Demonstração:

(bq)² = b ⋅ bq²

(bq)² = b²q²

• Considere a, b e c as idades dos três filhos em ordem crescente.
• Se elas formam uma progressão aritmética crescente então aplicando a propriedade P1:

2b = a + c ①

• Se o mais novo deles tivesse um ano a mais, suas idades formariam uma progressão geométrica. PG = (a+1, b, c). Aplicando a propriedade P2:

b² = (a + 1) ⋅ c

b² = ac + c ②

• Se o mais velho tivesse dois anos a mais, as idades deles formariam uma progressão geométrica. PG = (a, b, c+2). Aplicando a propriedade P2:

b² = a ⋅ (c + 2)

b² = ac + 2a ③

• Subtraia as equações ② e ③ membro a membro.

ac + c − (ac + 2a) = 0

ac + c − ac − 2a = 0

c − 2a = 0

c = 2a ④

• Substitua a equação ④ na equação ①.

2b = a + c

2b = a + 2a

2b = 3a

$\large \sf a = \dfrac{2}{3} \cdot b$  ⑤

• Substitua a equação ⑤ na equação ④.

c = 2a

$\large \sf c = \dfrac{2 \cdot 2}{3} \cdot b$

$\large \sf c = \dfrac{4}{3} \cdot b$ ⑥

• Substitua as equações ⑤ e ⑥ na equação ③.

b² = ac + 2a

$\large \sf b^2 = \dfrac{2b}{3} \cdot \dfrac{4b}{3} + 2 \cdot \dfrac{2b}{3}$

$\large \sf b^2 = \dfrac{8b^2}{9} + \dfrac{4b}{3}$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 9.

9b² = 8b² + 12b ⟹ Subtraia 8b² de ambos os membros.

b² = 12b

• Observe que uma das soluções é zero, porém será descartada porque a idade do segundo filho não pode ser zero.

b² = 12b ⟹ Divida ambos os membros por b.

b = 12 anos

• Substitua o valor de b na equação ⑤.

$\large \sf a = \dfrac{2}{3} \cdot b$

$\large \sf a = \dfrac{2}{3} \cdot 12$

a = 8 anos

• Substitua o valor de b na equação ⑥.

$\large \sf c = \dfrac{4}{3} \cdot b$

$\large \sf c = \dfrac{4}{3} \cdot 12$

c = 16 anos

As idades dos filhos de Jorge são: 8, 12 e 16 anos.

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