Question

Como você encontra a distância entre 2 coordenadas polares?​

Answer 1

Sim! É possível derivar fórmulas para os casos bidimensionais e tridimensionais em coordenadas polares . A seguir estão as fórmulas:

Coordenadas polares 2-D :

$\vec{r_A}=(r_A,\theta_A); \qquad \vec{r}_B=(r_B, \theta_B)$

$S=\sqrt{|\vec{r}_B-\vec{r}_A|^2} = \sqrt{r_A^2+r_B^2-2r_Ar_B\cos(\theta_B-\theta_A)}$

Coordenadas polares esféricas 3-D :

$\vec{r_A}=(r_A,\theta_A,\phi_A); \qquad \vec{r}_B=(r_B, \theta_B, \phi_B)$

$S=\sqrt{|\vec{r}_B-\vec{r}_A|^2}$

$= \sqrt{r_A^2+r_B^2-2r_Ar_B[\sin\theta_A\sin\theta_B\cos(\phi_B-\phi_A)+\cos\theta_A\cos\theta_B]}$

Derivar essas fórmulas requer escrever os vetores de posição em suas formas cartesianas e aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre dois pontos no espaço. As seguintes identidades trigonométricas podem ser úteis para este problema:

$\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)$

$\sin^2A+\cos^2A=1$

Derivação da Fórmula 2-D :

$\vec{r}_A=(r_A, \theta_A) = (X_A, Y_A); \qquad \vec{r}_B=(r_B, \theta_B) = (X_B, Y_B);$

$X_A=r_A\cos\theta_A, \quad Y_A=r_A\sin\theta_A;$

$X_B=r_B\cos\theta_B, \quad Y_B=r_B\sin\theta_B;$

A distância entre os dois pontos é:

$S=\sqrt{|\vec{r}_B-\vec{r}_A|^2} = \sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2}$

$S=\sqrt{(r_B\cos\theta_B-r_A\cos\theta_A)^2+(r_B\sin\theta_B-r_A\sin\theta_A)^2}$

Ao expandir os quadrados e simplificar ainda mais,

$S=\sqrt{r_A^2(\cos^2\theta_A+\sin^2\theta_A)+r_B^2(\cos^2\theta_B+\sin^2\theta_B)-2r_Ar_B(\cos\theta_A\cos\theta_B+\sin\theta_A\sin\theta_B)}$

$S=\sqrt{r_A^2+r_B^2-2r_Ar_B\cos(\theta_B-\theta_A)}$

Derivação da Fórmula 3-D :

$\vec{r}_A=(r_A, \theta_A,\phi_A) = (X_A, Y_A,Z_A);$

$\vec{r}_B=(r_B, \theta_B,\phi_B) = (X_B, Y_B,Z_B);$

$X_A=r_A\sin\theta_A\cos\phi_A, \quad Y_A=r_A\sin\theta_A\sin\phi_A; Z_A=r_A\cos\theta_A$

$X_B=r_B\sin\theta_B\cos\phi_B, \quad Y_B=r_B\sin\theta_B\sin\phi_B; Z_B=r_B\cos\theta_B$

A distância entre os dois pontos é:

$S=\sqrt{|\vec{r}_B-\vec{r}_A|^2} = \sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2+(Z_B-Z_A)^2}$

$(X_B-X_A)^2 =(r_B\sin\theta_B\cos\phi_B-r_A\sin\theta_A\cos\phi_A)^2$

$(Y_B-Y_A)^2 =(r_B\sin\theta_B\sin\phi_B-r_A\sin\theta_A\sin\phi_A)^2$

$(Z_B-Z_A)^2=(r_B\cos\theta_B-r_A\cos\theta_A)^2$

Ao expandir os quadrados e simplificar ainda mais,

$S=\sqrt{r_A^2(\cos^2\theta_A+\sin^2\theta_A)+r_B^2(\cos^2\theta_B+\sin^2\theta_B)-2r_Ar_B[\sin\theta_A\sin\theta_B (\cos\phi_A\cos\phi_B+\sin\phi_A\sin\phi_B)+\cos\theta_A\cos\theta_B]}$

$=\sqrt{r_A^2+r_B^2-2r_Ar_B[\sin\theta_A\sin\theta_B \cos(\phi_B-\phi_A)+\cos\theta_A\cos\theta_B]}$

$\boxed{\mathbf{ESPERO~TER~AJUDADO}}$

$\boxed{\mathbf{By:DarbySabini}}$