Question

Como se faz para calcular a derivada dessa função.

Será que daria para explicar bem detalhado? Por que tem que usar a função inversa.
...........x²
F(x) = ∫costdt
..........x

Answer 1

Não precisa usar a função inversa. Aqui, aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) e a Regra da Cadeia:

$F(x)=\displaystyle\int\limits_{x}^{x^{2}}{\cos t\,dt}$


Podemos separar o lado direito em duas integrais. Sendo $a$ uma constante, tal que $x\leq a \leq x^{2},$ temos

$F(x)=\displaystyle\int\limits_{x}^{a}{\cos t\,dt}+\int\limits_{a}^{x^{2}}{\cos t\,dt}\\ \\ \\ F(x)=-\int\limits_{a}^{x}{\cos t\,dt}+\int\limits_{a}^{x^{2}}{\cos t\,dt}$


Derivando os dois lados em relação a $x,$ aplicando o T.F.C nas duas integrais, temos

$F'(x)=-\displaystyle\frac{d}{dx}\,\int\limits_{a}^{x}{\cos t\,dt}+\frac{d}{dx}\,\int\limits_{a}^{x^{2}}{\cos t\,dt}\\ \\ \\ F'(x)=-\cos x+\cos(x^{2})\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2})\\ \\ \\ F'(x)=-\cos x+\cos(x^{2})\cdot 2x$


Note que a segunda integral é expressa como uma função composta, por isso, aplicamos a Regra da Cadeia combinada com o T.F.C.