Question

Em um circuito LRC de uma única malha, com fonte harmônica, considere que R=4,0 Ω, C=150 μF, L=60 mH, f=60 Hz e E0=300 V. Qual é a amplitude da corrente elétrica no circuito?

Answer 1

A amplitude da corrente é:                          

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}|\hat{I}| = 47{,}22\text{A}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|\hat{I}| = \frac{|\hat{V}|}{|\hat{Z}_{\text{eq}}|} = \frac{V_p}{\sqrt{R^2+\left(\frac{\omega^2LC -1}{\omega C}\right)^2}}\end{gathered} }$

Em circuitos RLC em regime senoidal permanente, temos que trabalhar com fasores para facilitar a soma, subtração, multiplicação e divisão de cossenoides, além disso, fugindo da convenção usual da matemática, j denomina a unidade imaginária, j² = -1.

Portanto, os fasores são números complexos que facilitam nossas operações, temos que

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = a + j b \Rightarrow z = |z|\angle\theta\\ \\|z| = \sqrt{a^2+b^2}, \quad \theta = \arg z = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\end{gathered}$

A esquerda é a forma cartesiana, ou retangular, e a direta a forma polar, utilizamos a cartesiana para soma e subtrações, pois

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}z_1 = a + jb \qquad z_2 = c + jd\\ \\z_1 \pm z_2 = \left(a \pm c\right) + j\left(b \pm d\right)\end{gathered}$

E para para multiplicação e divisão usamos a polar

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}z_1 = |z_1| \angle \theta_1 \qquad z_2 = |z_2| \angle \theta_2 \\ \\z_1\cdot z_2 = |z_1| |z_2|\angle \theta_1 + \theta_2\\ \\\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}\angle \theta_1 - \theta_2\end{gathered}$

Dito isso, vamos agora de fato ver qual a corrente num circuito RLC em série.

Irei resolver tudo com valores genéricos, ou seja, um indutância L, capacitância C, resistência R e fonte com amplitude Vp.

Lembrando que a a expressão da tensão no tempo é dado por

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = V_p\cos \left(\omega t + \theta_V\right) \end{gathered}$

E seu fasor

                                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\hat{V} = V_p\angle \theta_V\end{gathered}$

Em um circuito em série, podemos associar todas as resistências e as reatâncias para achar a impedância equivalente do circuito, ou seja:

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}Z_{\text{eq}} =R + Z_L + Z_C\end{gathered} }$

Sabemos que

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\hat{Z}_L = j\omega L \qquad \hat{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}\end{gathered}$

Logo

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{Z}_{\text{eq}} = R + j\omega L - j\frac{1}{\omega C}\\ \\\hat{Z}_{\text{eq}} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\\ \\\end{gathered} }$

Ou se preferir

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{Z}_{\text{eq}} = R + j\left(\frac{\omega^2LC - 1}{\omega C}\right)\end{gathered} }$

Usando a Lei de Ohm com fasores

                                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{V} = \hat{Z}\hat{I} \Rightarrow \hat{I} = \frac{\hat{V}}{\hat{Z}}\end{gathered} }$

No caso do circuito totalmente em série, temos que a tensão da fonte vai ser igual as quedas de tensão, logo podemos dizer que a corrente no circuito vai ser

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{V} = \hat{V}_R + \hat{V}_L + \hat{V}_C\\ \\\hat{V} = R\hat{I} + \hat{Z}_L\hat{I} + \hat{Z}_C\hat{I} \\ \\\hat{V} = \hat{I}\underbrace{\left(R+ \hat{Z}_L+ \hat{Z}_C\right)}_{\hat{Z}_{\text{eq}}} \\ \\\hat{V} = \hat{I}\hat{Z}_{\text{eq}}\\ \\\hat{I} = \frac{\hat{V}}{\hat{Z}_{\text{eq}}}\end{gathered} }$

Como dito anteriormente, utilizamos a forma polar dos fasores para fazer a divisão, porém nossa impedância está na forma cartesiana, então vamos passar ela para a forma polar.

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{Z}_{\text{eq}} = R + j\left(\frac{\omega^2LC-1}{\omega C}\right)\\ \\\hat{Z}_{\text{eq}} = |Z_{\text{eq}}|\angle\theta_Z\\ \\|Z_{\text{eq}}| = \sqrt{R^2 +\left(\frac{\omega^2LC-1}{\omega C}\right)^2}\\ \\\theta_Z = \arctan\left(\frac{\omega^2LC-1}{\omega RC}\right)\end{gathered} }$

Como o enunciado só nos pede a amplitude da corrente, podemos já exprimir essa resposta, pois já temos qual a amplitude da fonte e sabemos a amplitude da impedância, então

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|\hat{I}| = \frac{|\hat{V}|}{|\hat{Z}_{\text{eq}}|} = \frac{V_p}{\sqrt{R^2+\left(\frac{\omega^2LC -1}{\omega C}\right)^2}}\end{gathered} }$

Não se esqueça que Vp = E₀, apenas uma notação diferente, além de que o uso de fasores só é possível quando a frequência é a mesma sempre.

Colocando os valores do enunciado chegamos em:

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}|\hat{I}| = 47{,}22\text{A}\end{gathered}$

Veja mais sobre em:

Circuito de segunda ordem - https://brainly.com.br/tarefa/24720562                      

Impedâncias - https://brainly.com.br/tarefa/15647009

Answer 2

Resposta:

47,6A

Explicação passo a passo:

gabarito