Uma função f é tal que f(x + 6) = 2.x + 8. Com base nessa afirmação, o resultado do cálculo da função inversa de f¹ (16) é: *

Nasgovaskov: Pablo, a questão pede a inversa da função f(16), ou a inversa da função inversa f⁻¹(16)?

Nasgovaskov: Assumi como sendo para calcular a inversa f⁻¹(16).

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

⠀⠀O resultado do cálculo da função inversa f⁻¹(16) é igual a 10.

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Considerações

⠀⠀Só uma obs.: a forma como foi escrita o enunciado ficou um pouco ''zoada'', pois ao invés de ''o resultado do cálculo da função inversa de f⁻¹(16) é'', o mais correto seria ''o resultado do cálculo de f⁻¹(16) é''.

⠀⠀Foi nos dado uma função f tal que f(x + 6) = 2x + 8. Note que, como ela tem uma particularidade — possuindo uma soma em seu argumento — podemos afirmar que f(x + 6) é a função f avaliada para quaisquer reais x — supondo f uma função de variável real — aumentado de seis unidades, e 2x + 8, também real, será o resultado proveniente de f(x + 6).

⠀⠀Pelo enunciado, desejamos calcular o valor numérico de f⁻¹(x) (função inversa de f) para x = 16. Então a ideia aqui é encontrar lei de formação da inversa f⁻¹(x) com base em f(x + 6), e depois calcular o valor de f⁻¹(16).

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Resolução

⠀⠀Conforme supracitado, precisamos determinar a lei de formação a partir de f(x + 6). Vamos começar aplicando um macete, que consiste em transformar o argumento x em x – 6 — a escolha x – 6 foi intencional, dado que x – 6 + 6 = x — de forma que encontremos:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}f(x+6)=2x+8\\\\f[(x-6)+6]=2(x-6)+8\\\\f[x-6+6]=2x-12+8\\\\f(x+0)=2x-4\\\\\!\boxed{f(x)=2x-4}\end{array}}\\\\$

⠀⠀Agora com a função escrita numa forma usual, podemos encontrar sua inversa. Vamos fazer a troca de f(x) por x e x por f(x), depois isolar f(x), e por fim, escrever na notação formal f⁻¹(x) para indicar que a função obtida é a inversa de f:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}f(x)=2x-4\\\\x=2f(x)-4\\\\2f(x)-4=x\\\\2f(x)=x+4\\\\f(x)=\dfrac{x+4}{2}\\\\\!\boxed{f^{-1}(x)=\dfrac{x}{2}+2}\end{array}}\\\\$

⠀⠀Como desejamos calcular f⁻¹(16), então x = 16:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}f^{-1}(16)=\dfrac{16}{2}+2\\\\f^{-1}(16)=8+2\\\\\!\boxed{\boxed{f^{-1}(16)=10}}\end{array}}\\\\$

⠀⠀Resposta: Portanto, o resultado de f⁻¹(16) é igual a 10.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$