Question

Determine a derivada da função inversa f(x)=2x^3+2x-1 no ponto (2,3)

Answer 1

Resposta:

Solução:

$\displaystyle \sf f(x) = 2x^{3} + 2x - 1$

Derivada da função inversa:

Seja  $\textstyle \sf y = f(x)$. Suponha que $\textstyle \sf f(x)$  admite uma função inversa $\textstyle \sf x = f^{-1}(y)$contínua. Se  $\textstyle \sf \frac{d}{dx} [f(x)]$ existe e é diferente de zero, então a derivada de

$\boxed{ \displaystyle \sf \dfrac{d}{dy} \:[f^{-1}(y)] = \dfrac{1}{\dfrac{d}{dx}\:[f(x)] } }$

Pela regra da derivada da função inversa, tem-se:

$\displaystyle \sf \dfrac{d}{dy} \:[f^{-1}(y)] = \dfrac{1}{\dfrac{d}{dx}\:[f(x)] } = \dfrac{1}{f'(x)}$

$\sf \dfrac{d}{dy} \:[f^{-1}(y)] = \dfrac{1}{ 6x^{2} +2 }$

$\sf \dfrac{d}{dy} \:[f^{-1}(3)] = \dfrac{1}{ 6 \cdot 2^{2} +2 }$

$\sf \dfrac{d}{dy} \:[f^{-1}(3)] = \dfrac{1}{ 6 \cdot 4+2 }$

$\sf \dfrac{d}{dy} \:[f^{-1}(3)] = \dfrac{1}{ 2 4+2 }$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{\displaystyle \sf \dfrac{d}{dy} \:[f^{-1}(3)] = \dfrac{1}{ 26 } }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo a passo:

Derivada de potência de x:

$\displaystyle \sf f(x) = x^n$

$\displaystyle \sf f'(x) = nx^{n-1}$