Em um famoso desenho pequenos seres imaginários ficam guardados em um recipiente com a forma de uma esfera e são liberados para disputas que envolvem seus poderes.
Inspirado nesse desenho, um brinquedo com formato de uma esfera de volume igual a 288π cm3 foi criado para guardar um desses seres, o Eight face, cujo formato é o de um octaedro regular.
Considerando que o octaedro que representa o Eight face está inscrito na esfera, seu volume, em cm3, é:
A) 90
B) 108
C) 144
D) 216
E) 288
Respostas
Resposta:
alternativa D, 288
Explicação passo a passo:
288
O volume do octaedro que representa o Eight face é:
e) 288 cm³
Explicação:
O volume do octaedro regular corresponde ao volume de duas pirâmides de base quadrada. Ou seja:
Voctaedro = 2 x (Ab x h)
3
Como esse octaedro está inscrito numa circunferência, a altura de cada pirâmide corresponde ao raio da esfera.
O volume da esfera é dado por:
V = 4·π·r³
3
Como V = 288π, temos:
4·π·r³ = 288π
3
4·π·r³ = 3·288π
4·r³ = 864
r³ = 864/4
r³ = 216
r = ∛216
r = 6 cm
Então, a altura da pirâmide é h = 6 cm.
Para obter a área da base, é preciso da medida da aresta da base. A base é um quadrado de lado a.
A diagonal do quadrado é a√2. Essa diagonal corresponde ao diâmetro da circunferência (observe a figura).
d = 2·r
a√2 = 2·6
a√2 = 12
a = 12
√2
a = 12√2
2
a = 6√2 cm
Então, a área da base é:
Ab = a²
Ab = (6√2)²
Ab = 36·2
Ab = 72 cm²
Portanto, o volume do octaedro é:
Voctaedro = 2 x (Ab x h)
3
Voctaedro = 2 x (72 x 6)
3
Voctaedro = 2 x (72 x 2)
Voctaedro = 288 cm³
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