Question

encontre o conjunto solução da inequação
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Answer 1

O conjunto solução da inequação dada é $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R};\,x\geq3\}.}$

Explicação

É dada a inequação $\mathsf{|x-5|\leq x-1}$ e pede-se seu conjunto solução.

Relembrando a definição de módulo, note que:

$\sf|x-5|=\begin{cases}\sf x-5&\textsf{se }\mathsf{x\geq5}\\\\\mathsf{-x+5}&\textsf{se }\sf x<5\end{cases}$

Dessa forma, precisamos considerar dois casos:

1º caso

Se $\mathsf{x\geq5,}$ então:

$\mathsf{|x-5|\leq x-1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x-5\leq x-1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-5\leq-1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x\in\mathbb{R}}$

Assim, a solução $\mathsf{S_1}$ é:

$\boxed{\mathsf{S_1=\{x\in\mathbb{R}; x\geq5\}\cap\mathbb{R}=\{x\in\mathbb{R}; x\geq5\}}}$

2º caso

Se $\mathsf{x<5}$, então:

$\mathsf{|x-5|\leq x-1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-x+5\leq x-1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-x-x\leq -1-5}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-2x\leq -6}\implies\\\\\\\implies\mathsf{2x\geq 6}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x\geq 3}$

Desse modo, a solução $\mathsf{S_2}$ é:

$\mathsf{S_2=\{x\in\mathbb{R};\,x<5\}\cap\{x\in\mathbb{R};\,x\geq3\}}\implies\\\\\\\implies\boxed{\mathsf{S_2=\{x\in\mathbb{R};\,3\leq x<5\}}}$

A solução da inequação dada é a união das soluções dos dois casos, ou seja:

$\mathsf{S=S_1\cup S_2}\implies\\\\\\\implies\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R};\,x\geq5\}\cup\{x\in\mathbb{R};\,3\leq x<5\}}\implies\\\\\\\implies\large\boxed{\boxed{\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R};\,x\geq3\}}}}$

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