Question

Alguém pode me ajudar nas alternativas 04) e 08)?
Gabarito: 21

Answer 1

04) é falsa e 08) é falsa

A 04) é obtida usando as identidades:

$1=sen^2x+cos^2x$

$cos(2x) = cos^2x - sen^2x$

Somando as duas equações teremos:

$1+cos(2x)=2cos^2x$

$-cos(2x)=1-2cos^2x$

Desta forma, a igualdade dada no problema $1-2cos^2105^\circ = \frac{\sqrt2}{2}$ pode ser escrita como:

$cos(2\cdot105^\circ) = \frac{\sqrt2}{2}$

$cos(210^\circ) = \frac{\sqrt2}{2}$

Agora precisamos encontrar a posição de 210º para ver se a igualdade acima é verdadeira.

Lembre que a circunferência é divida em quadrantes de ângulos 0º, 90º, 180º e 270º.

O terceiro quadrante fica entre 180º e 270º.

Portanto 210º - 180º = 30º

Tomando o cuidado com os sinais (veja na figura onde fica 210º) vemos que:

cos(210º) = -cos(30º) = $\frac{\sqrt3}{2}$

Portanto a afirmativa 04 é falsa

Para a alternativa 08), podemos substituir $1+cos(2\theta)$ por $2cos^2\theta$

Lembre que já obtemos acima a igualdade $1+cos(2x)=2cos^2x$

O restante do trabalho é substituir tangente e cossec por suas definições:

$tan\theta = \frac{sen\theta}{cos\theta}$

$cossec\theta = \frac{1}{sen\theta}$

Juntando tudo, temos:

$\dfrac{2tg^2\theta}{1+cos2\theta}=cossec^2\theta$

$\dfrac{2\cdot\frac{sen^2\theta}{cos^2\theta}}{2cos^2\theta}=\frac{1}{sen^2\theta}$

$\dfrac{sen^2\theta}{cos^4\theta}=\frac{1}{sen^2\theta}$

E vemos que esta afirmativa também é falsa