Question

Se o par (x,y) de números reais é solução do sistema de equações a seguir, determine o valor de (x + y)² .

{x²+y²= 5
{xy= -2

Answer 1

Resposta:

1

Explicação passo a passo:

$\left \{ {{x^2+y^2= 5} \atop {xy= -2}} \right.$

$\left \{ {{x^2+y^2= 5} \atop {y= \frac{-2}{x} }} \right.$

x²+y²= 5

x²+($\frac{-2}{x}$)²= 5

x²+$\frac{4}{x^2}$= 5

$\frac{x^4+ 4}{x^2}$ = 5

x⁴ + 4 = 5x²

x⁴ - 5x² + 4 = 0

Considerando-se a = x², tem-se

a² - 5a + 4 = 0

Assim, por bhaskara, encontra-se

Δ = 25 - 4 . 4

Δ = 9

a = (5 ± 3)/ 2

a₁ = $\frac{5 + 3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

a₂ = $\frac{5 - 3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Substituindo-se os valores de a em a = x², tem-se

a₁ = x₁²

4 = x₁²

x₁ = √4

x₁ = ±2

e

a₂ = x₂²

1 = x₂²

x₂ = √1

x₂ = ±1

Dessa forma, encontramos quatro possíveis valores para x (x₁ = 2; x₂ = 1; x₃ = -2; x₄ = -1). Em seguida, é necessário substituir cada um dos valores de x numa das equações do sistema anterior:

$\left \{ {{x^2+y^2= 5} \atop {xy= -2}} \right.$

Como xy= -2 é a equação mais simples é preferível que se faça a substituição nela. Assim

x₁.y₁ = -2

2.y₁ = -2

y₁ = -1

x₂.y₂ = -2

1.y₂ = -2

y₂ = -2

x₃.y₃ = -2

-2.y₃ = -2

y₃ = 1

x₄.y₄ = -2

-1.y₄ = -2

y₄ = 2

Dessa forma, tem-se como solução do sistema de equações, os seguintes pares ordenados:

S = {(2;-1);(1;-2);(-2;1)(-1;2)}

Para determinar o valor de (x + y)², como pede a questão, basta fazer as devidas substituições, da seguinte forma:

(x₁ + y₁)² = (2 - 1)² = 1² = 1

(x₂ + y₂)² = (1 - 2)² = (-1)² = 1

(x₃ + y₃)² = (-2 + 1)² = (-1)² = 1

(x₄ + y₄)² = (-1 + 2)² = 1² = 1

Assim, obtém-se um único valor para (x + y)², que é 1

Espero ter ajudado ; )