Matéria: Matemática
Autor: mateuscontatoaprendi
Perguntado 4 anos atrás

“Os pontos P(–1; 2), Q(2; –1) e R(k; 5) estão ALINHADOS no plano”. A afirmação anterior só é verdadeira quando o valor k corresponde a

-4
-2
0
2
4

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

A afirmação só é verdadeira para quando k = – 4, que corresponde à alternativa a).

⠀

Considerações

Para que três pontos estejam alinhados no plano, ou, para que sejam colineares, eles devem pertencer à uma mesma reta. Para isso, o determinante D formado por suas coordenadas deve ser nulo, que é a condição de alinhamento de três pontos. Para exemplo consideremos três pontos 1(x₁ , y₁), 2(x₂ , y₂) e 3(x₃ , y₃), eles só estarão alinhados, se:

$\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right|=0\end{array}}\\\\$

Voltando à questão

Foi nos dado a seguinte afirmação: ''Os pontos P(– 1 , 2), Q(2 , – 1) e R(k , 5) estão ALINHADOS no plano''. Se esses pontos estão alinhados, significa que o determinante formado por suas coordenadas certamente é igual a zero, então:

$\\\large\begin{array}{l}\left|\begin{array}{ccc}x_p&y_p&1\\x_q&y_q&1\\x_r&y_r&1\end{array}\right|=0\\\\\left|\begin{array}{ccc}-1&2&1\\2&-1&1\\k&5&1\end{array}\right|=0\end{array}\\\\$

Para calcular isso usamos a Regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas, fazer a soma do produto da diagonal principal e subtrair da soma do produto da diagonal secundária:

$\\\large\begin{array}{l}\left|\begin{array}{ccc}-1&2&1\\2&-1&1\\k&5&1\end{array}\right|\begin{matrix}-1&2\\2&-1\\k&5\end{matrix}\,=0\\\\-1\cdot(-1)\cdot1+2\cdot1\cdot k+1\cdot2\cdot5-[1\cdot(-1)\cdot k+(-1)\cdot1\cdot5+2\cdot2\cdot1]=0\\\\1+2k+10-[-k-5+4]=0\\\\2k+11-[-k-1]=0\\\\2k+11+k+1=0\\\\3k+12=0\\\\3k=-\,12\\\\k=-\,\dfrac{12}{3}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{k=-\,4}}\end{array}\\\\$

Portanto, o valor de k deve ser – 4. Logo a alternativa a) é a correta.

⠀

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$