Question

Os números 2, a e b estão em progressão aritmética crescente.Os números 1, (a - 1) e (2b + 5) estão em progressão geométrica crescente. O valor de b - a é: 

Answer 1

Vamos montar as progressões:

$P.A.(2,a,b)$

$P.G.(1,a-1,2b+5)$

A 2ª propriedade da P.A. nos diz:

O termo central é igual a metade da soma dos termos extremos (média aritmética):

$a _{2}= \frac{a _{1}+a _{3} }{2}$, então temos:


$a= \frac{2+b}{2}$

$2a=2+b$

$b=2a-2$



A 1ª propriedade da P.G. nos diz:

O quadrado do termo central é igual ao produto dos termos extremos (média geométrica):

$(a _{2}) ^{2}=(a _{1}).(a _{3})$, daí teremos:

$(a-1) ^{2}=1.(2b+5)$

$a^{2}-2a+1=2b+5$


Realizado isto, substituímos o valor de b da P.A. na equação da P.G., assim:

$a ^{2}-2a+1=2(2a-2)+5$

$a ^{2}-2a+1=4a-4+5$

$a ^{2}-6a=0$

$a(a-6)=0$

$a'=0:::a''=6$


Nota: Se usarmos a=0, não teremos nem uma P.A. e nem uma P.G., portanto só nos serve a=6:

$b=2a-2$

$b=2*6-2$

$b=10$

Feito isso, vamos verificar a e b nas progressões acima:

$P.A.(2,6,10)$

$P.G.(1,5,25)$

Vimos que é verdadeiro o que se foi feito, a vale 6, e b vale 10, portanto,

$b-a=10-6$

$b-a=4$



Espero ter ajudado. Bons estudos :)