2. A relação de Euler é válida para todo poliedro convexo, no entanto, essa relação é/>válida também para alguns poliedros não convexos. Entre os poliedros não convexos a seguir o único que NÃO obedece essa relação/é me ajudem é urgente por favor ...
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Resposta:
espero ter ajudado
Explicação passo-a-passo:
Por intermédio de um colega, tomei conhecimento do artigo intitulado “O Teorema de
Euler sobre poliedros”, escrito pelo Professor Elon Lages Lima e publicado no número de
outubro de 1982 do “Noticiário da Sociedade Brasileira de Matemática”.
Sou professor de Matemática e já perdi a conta do número de vezes que demonstrei - ou
julguei tê-lo feito - em classe o Teorema de Euler para poliedros. Por isso fiquei muito
chocado ao saber que a demonstração que sempre usei, e que consta de todos os
livros-texto que conheço, não está certa.
Na esperança de aprender uma demonstração correta, li com grande atenção o referido
artigo. Estou agora convencido de que a argumentação que eu utilizava é insuficiente.
Infelizmente, a maneira sugerida pelo autor do artigo para corrigir o que ele chama “a
demonstração de Cauchy” me parece excessivamente elaborada e longa para o nível dos
alunos de nossos colégios. Por outro lado, num trecho do seu trabalho, o Professor Elon
menciona uma demonstração particular, válida apenas para poliedros convexos, e faz
referência a um livro de autores alemães, traduzido para o inglês, onde se encontra tal
prova.
Consegui uma cópia xerox daquela demonstração e, depois de meditar assunto, decidi que
prestaria um serviço aos meus colegas divulgando a minha maneira de ver essa prova do
Teorema de Euler.
O teorema a demonstrar é o seguinte:
Seja P um poliedro convexo com F faces. A arestas e V vértices. Tem-se necessariamente
F - A + V = 2.
Para que não haja ambigüidade quanto aos termos que empregaremos, é conveniente
relembrar algumas definições.
Um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo quando qualquer segmento de reta
que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C.
Um poliedro é uma reunião finita de polígonos convexos, chamados as faces do poliedro.
Os lados desses polígonos chamam-se arestas do poliedro e os vértices: dos polígonos
são também chamados vértices do poliedro. Exige-se ainda que a interseção de duas faces
quaisquer do poliedro seja uma aresta comum a essas faces, ou um vértice comum, ou seja
vazia.
Diz-se que um poliedro é convexo quando ele limita um sólido convexo no sentido da
definição acima. Cada aresta de um poliedro convexo é lado de exatamente duas faces
desse poliedro. Aceitaremos este fato como parte