Respostas
Resposta:Vamos lá.
São pedidas as condições de existência das seguintes expressões logarítmicas, que vamos chamar, cada uma, de um certo "y", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa. Então vamos ver cada uma.
a) y = log₃ (x²-5x+6).
Veja: só há logaritmos de números positivos (> 0). Então vamos impor que o logaritmando (x²-5x+6) seja maior do que zero. Assim:
x² - 5x + 6 > 0
Vamos encontrar quais são as raízes da equação acima. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais e veremos onde a função dada é positiva e negativa, para podermos escolher apenas os valores de "x" que farão com que a equação dada seja positiva.
Para encontrar suas raízes vamos igualá-la a zero. Assim:
x² - 5x + 6 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:
x' = 2 e x'' = 3 <--- Estas são as raízes da equação "x²-5x+6 = 0".
Agora vamos estudar a variação de sinais dela e ver quais os valores de "x" que fazem com que a equação dada seja positiva. Assim:
x² - 5x + 6 > 0 .. + + + + + + + (2) - - - - - - - - - (3) + + + + + + + + + +
Assim, como você poderá concluir pela leitura do gráfico acima, nota-se que a função será positiva para x < 2 ou para x > 3. Então será esta a condição de existência da expressão logarítmica do item "a".
Logo, a resposta para a questão do item "a" é esta:
x < 2 , ou x > 3 ----- Esta é a resposta para o item "a".
Se quiser,poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
S = {x ∈ R | x < 2, ou x > 3}
Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que dá no mesmo:
S = {-∞; 2) ∪ (3; +∞)
b) y = log₍₃ₓ₊₉₎ (6) ---- (ou seja: logaritmo de "6", na base "3x-9")
Veja: as bases de logaritmos têm que ser positivas (>0) e, além disso, também têm que ser diferentes de "1".
Assim, deveremos impor que a base (3x-9) deverá ser:
3x + 9 > 0
3x > - 9
x > -9/3
x > -3
e
3x + 9 ≠ 1
3x ≠ 1-9
3x ≠ -8
x ≠ -8/3
Assim, a condição de existência para a expressão do item "b" será:
x > -3 e x ≠ -8/3 , o que poderia ser representado no seguinte intervalo:
- 3 < x < -8/3, ou x > -8/3 ---- Esta é a resposta para o item "b".
Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:
S = {x ∈ R | x > -3 e x ≠ -8/3} ou S = {x ∈ R | -3 < x < -8/3, ou x > -8/3}
Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderia ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:
S = (-3; -8/3) ∪ (-8/3: +∞)
c) log₍ₓ₊₁₎ (2-x) -----(ou seja: logaritmo de (2-x) na base "x+1")
Agora vamos para as condições de existência da base (x+1) e do logaritmando (2-x).
c.i) Quanto à base, já sabemos que ela terá que ser positiva (>0) e, além disso, deverá ser também diferente de "1". Assim, quanto à base deveremos ter isto:
x+1 > 0
x > -1
e
x+1 ≠ 1
x ≠ 1-1
x ≠ 0
c.ii) Quanto ao logaritmando também já sabemos que ele deverá ser positivo (> 0). Assim, vamos impor que (2-x) seja positivo. Logo:
2 - x > 0
- x > - 2 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
x < 2 ---- Esta é a condição de existência para o logaritmando.
c.iii) Agora veja: entre o "x" ter que ser maior do que "-1" e diferente de "0" quanto à base, e ter que ser menor do que "2" quanto ao logaritmando, então teremos que ver a intersecção desses intervalos. Assim (colocaremos o que vale para cada condição com o símbolo /////// e colocaremos a intersecção com o símbolo ||||||):
x > -1 .... _________ (-1) / / / / / / / / / / / / / / / /
x ≠ 0 ..... / / / / / / / / / / / / / / / / (0) / / / / / / / / /
x < 2 .... / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (2) __________
Intersecção _____(-1)| | | | | | I I(0) | | | | | | | | |(2)
Assim, como se vê acima, a intersecção está no seguinte intervalo:
-1 < x < 0 , ou 0 < x < 2 ----- Esta é a resposta para o item "c".
Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:
S = {x ∈ R | -1< x < 0, ou 0 < x < 2}
Ou, ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:
S = (-1; 0) ∪ (0; 2)
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Explicação passo a passo: