Question

Seja v = (v1,v2,v3) um vetor paralelo a u = (2,1,-3) tal que u.v= 3. Qual é o valor de v3? Escreva a resposta com duas casas decimais.

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$v = (v_{1},v_{2}, v_{1}), \: \: v \cdot \: u = 3 \: \: e \: \: u = (2 , 1,3)$

A questão diz que o produto escalar entre u e v é igual a 3, ou seja, a partir dessa informação, podemos encontrar uma relação que tenha v1, v2 e v3, para isso devemos realizar o P.E.:

$(v_{1},v_{2}, v_{1}) \: \cdot \: (2 , 1,3) = 3 \\ 2v_{1} + v_{2} + 3v_{3} = 3$

Outra coisa que sabemos, é que quando o produto vetorial é igual a "0", quer dizer então que os vetores são paralelos, portanto:

$u \: \times \: v = \begin{bmatrix}i& j &k \\2 & 1 & - 3 \\v_{1}& v_{2}& v_{3}\end{bmatrix} = 0\\ \\ iv_{3}+ 3iv_{2}- 2jv_{3} + 2v_{2}k - 3 v_{1} j - v_{1}k = 0\\ i.(v_{3} + 3v_{2}) - j.(2v_{3} + 3v_{1}) + k.(2v_{2} - v_{1}) = 0$

Podemos desconsiderar o vetores unitários i,j,k, ficando apenas com:

$(v_{3} + 3v_{2} , \: 2v_{3} + 3v_{1}, \: 2v_{2} - v_{1} )= 0$

Agora vamos usar a propriedade e igualar todas essas relações ao valor depois da igualdade:

$\begin{cases} v_{3}+ 3v_{2} = 0 \\ 2v_{3}+3v_{1} = 0 \\ 2v_{2} - v_{1}= 0\end{cases}$

Agora é só resolver um sistema com essas três equações e a primeira gerada ali no começo:

$\begin{cases} 2v_{1} + v_{2} + 3v_{3} = 3\\ v_{3}+ 3v_{2} = 0 \\ 2v_{3}+3v_{1} = 0 \\ 2v_{2} - v_{1}= 0\end{cases}$

Temos então como resultado:

$v = \left( \frac{ - 3}{2}, \frac{9}{4} , - \frac{3}{4} \right)$

Portanto, temos que v3 = -3/4 ou -0,75

Espero ter ajudado