Question

Prove pela definição que a função dada é continua no ponto dado
f(x)= x+1 em p=2

Answer 1

Por definição, uma função $f$ é contínua em um ponto $p$ se

$\mathbf{(1)}\;\;\;\;p \in \mathrm{Dom}(f)\\ \\ \mathbf{(2)}\;\;\;\forall~\varepsilon>0\,,~\exists~\delta >0\,\text{ tal que}\\\\ ~~~~~~~~\text{se }0<|x-p|<\delta\,,\text{ ent\~{a}o }|f(x)-f(p)|<\varepsilon.$

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Dados

$f(x)=x+1\;\;\text{ e }\;\;p=2,$

é evidente que a condição $\mathbf{(1)}$ é satisfeita, pois $p=2$ é um ponto do domínio de $f.$


Vamos agora garantir $\mathbf{(2)}:$

Para qualquer $\varepsilon>0\,,$ garantir a existência de algum $\delta>0:$


Resolver a inequação $|f(x)-f(p)|<\varepsilon:$

$|f(x)-f(2)|<\varepsilon\\ \\ |(x+1)-(2+1)|<\varepsilon\\ \\ |x-2|<\varepsilon$

Ora, da última desigualdade acima, basta que tomemos

$\delta =\varepsilon$


Assim, garantimos que

$\text{se }0<|x-2|<\delta\,,\text{ ent\~{a}o }|f(x)-f(2)|<\varepsilon.$


Logo, $f$ é contínua em $2.$