Determine o primeiro termo de uma progressão geométrica cuja a razão é igual a 4 e o terceiro termo até igual a 144?
Preciso muito alguém responde por favor
Respostas
Resposta:
a1 + a4 = 144
a2 + a5 = 72
an = a1 . q^(n - 1)
a2 = a1 . q
a4 = a1 . q³
a5 = a1 . q^4
Então,
a1 + a4 = 144
a1 + a1.q³ = 144
a2 + a5 = 72
a1 . q + a1 . q^4 = 72
Temos então um sistema:
a1 + a1 . q³ = 144
a1 . q + a1 . q^4 = 72
Fatorando ambas as equações temos:
a1 . (1 + q³) = 144
a1 . (q + q^4) = 72
Dividindo uma pela outra temos:
Passa multiplicando
1 + q³ = 2.(q + q^4)
1 + q³ = 2q + 2q^4
Passando tudo para o mesmo lado:
2q^4 - q³ + 2q - 1 = 0
Fatorando:
(q + 1) . (2q - 1) . (q² - q + 1) = 0
Para que essa multiplicação seja igual a 0 qualquer um dos termos pode ser igual a 0, então:
q + 1 = 0
2q - 1 = 0
q² - q + 1 = 0
q + 1 = 0
q = -1
2q - 1 = 0
2q = 1
q = 1/2
q² - q + 1 = 0
Δ = b² - 4.a.c
Δ = -1² - 4 . 1 . 1
Δ = 1 - 4. 1 . 1
Δ = -3
Não há raízes reais.
Então as raízes para essa equação são -1 e 1/2
Contudo, voltando a equação primordial:
Vemos que por condição e existência, q não pode ser igual a -1, se não teriamos uma divisão por 0. Sendo assim, a única raiz aceitável para nós é 1/2.
Então, q = 1/2
Indo para a segunda parte do problema sabemos que essa razão é a razão de uma P.A. cuja a5 = 10
a5 = 10
an = a1 + (n - 1).r
an = a1 + (n - 1).1/2
an = a1 + (n -1)/2
a5 = a1 + (5 - 1)/2
a5 = a1 + 4/2
a5 = a1 + 2
10 = a1 + 2
10 - 2 = a1
a1 = 8
an = 8 + (n - 1).1/2
an = 8 + (n - 1)/2
a7 = 8 + (7 - 1)/2
a7 = 8 + 6/2
a7 = 8 + 3
a7 = 11
a1 + a4 = 144
a2 + a5 = 72
an = a1 . q^(n - 1)
a2 = a1 . q
a4 = a1 . q³
a5 = a1 . q^4
Então,
a1 + a4 = 144
a1 + a1.q³ = 144
a2 + a5 = 72
a1 . q + a1 . q^4 = 72
Temos então um sistema:
a1 + a1 . q³ = 144
a1 . q + a1 . q^4 = 72
Fatorando ambas as equações temos:
a1 . (1 + q³) = 144
a1 . (q + q^4) = 72
Dividindo uma pela outra temos:
Passa multiplicando
1 + q³ = 2.(q + q^4)
1 + q³ = 2q + 2q^4
Passando tudo para o mesmo lado:
2q^4 - q³ + 2q - 1 = 0
Fatorando:
(q + 1) . (2q - 1) . (q² - q + 1) = 0
Para que essa multiplicação seja igual a 0 qualquer um dos termos pode ser igual a 0, então:
q + 1 = 0
2q - 1 = 0
q² - q + 1 = 0
q + 1 = 0
q = -1
2q - 1 = 0
2q = 1
q = 1/2
q² - q + 1 = 0
Δ = b² - 4.a.c
Δ = -1² - 4 . 1 . 1
Δ = 1 - 4. 1 . 1
Δ = -3
Não há raízes reais.
Então as raízes para essa equação são -1 e 1/2
Contudo, voltando a equação primordial:
Vemos que por condição e existência, q não pode ser igual a -1, se não teriamos uma divisão por 0. Sendo assim, a única raiz aceitável para nós é 1/2.
Então, q = 1/2
Indo para a segunda parte do problema sabemos que essa razão é a razão de uma P.A. cuja a5 = 10
a5 = 10
an = a1 + (n - 1).r
an = a1 + (n - 1).1/2
an = a1 + (n -1)/2
a5 = a1 + (5 - 1)/2
a5 = a1 + 4/2
a5 = a1 + 2
10 = a1 + 2
10 - 2 = a1
a1 = 8
an = 8 + (n - 1).1/2
an = 8 + (n - 1)/2
a7 = 8 + (7 - 1)/2
a7 = 8 + 6/2
a7 = 8 + 3
a7 = 11
Explicação passo a passo: