Question

Como calcular integral I= ∫senx/cos²x dx ?

Answer 1

Forma 1. Integração direta:

$I=\displaystyle\int{\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos^{2}x}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\cos x}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\mathrm{tg\,}x\cdot \sec x\,dx}\\ \\ \\ =\sec x+C$

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Forma 2. Substituição:

$I=\displaystyle\int{\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos^{2}x}\,dx}$


Façamos a seguinte mudança de variável:

$\cos x=u\;\;\Rightarrow\;\;-\mathrm{sen\,}x\,dx=du\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{sen\,}x\,dx=-1\,du$


Substituindo, a integral fica

$I=\displaystyle\int{\dfrac{-1}{u^{2}}\,du}\\ \\ \\ =(-1)\cdot \int{u^{-2}\,du}\\ \\ \\ =(-1)\cdot \dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}+C\\ \\ \\ =(-1)\cdot \dfrac{u^{-1}}{-1}+C\\ \\ \\ =u^{-1}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{u}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{\cos x}+C\\ \\ \\ =\sec x+C$