Matéria: Matemática
Autor: ccolw
Perguntado 4 anos atrás

Os valores reais de m na equação (m-1)^2-4x-1=0 que não admitem raízes reais são:
a. m = 3.
b. m < 3.
c. m > 1.
d. m < – 3.
e. m > –1.

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

⠀⠀Os valores reais de m na equação proposta que a influencie a não admitir raízes reais devem ser menores que – 3. Portanto, a alternativa d. m < – 3 é a única correta.

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Considerações

⠀⠀Uma equação do 2º grau — no universo dos reais — pode admitir raízes com caraterísticas diferenciadas, tais como raízes reais e distintas, ou raízes reais e iguais, ou simplesmente pode não admitir raízes reais. Para encontrar alguma dessas características numa equação, podemos determinar o valor de suas raízes por algum método de preferência — se deseja somente saber as características das raízes, então esse método é laborioso e desnecessário — ou podemos simplesmente calcular seu discriminante (ou delta), que é dado por $\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$ . Nota: as letras a, b e c ∈ ℝ e são os coeficientes de uma equação quadrática que se encontra na forma $\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$ .

⠀⠀Continuando a parte supracitada, o valor do discriminante nos define as características de qualquer equação quadrática, pois:

se Δ > 0, a equação admite duas raízes reais e diferentes;
se Δ = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais;
se Δ < 0, a equação admite não admite raízes reais.

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⠀⠀Ou, em linguagem matemática:

$\boldsymbol{\begin{array}{l}\bullet~~Se~\Delta &gt; 0,~x_1~e~x_2\in\mathbb{R}~|~x_1\neq x_2\\\\\bullet~~Se~\Delta=0,~x_1~e~x_2\in\mathbb{R}~|~x_1=x_2\\\\\bullet~~Se~\Delta &lt; 0,~x_1~e~x_2\notin\mathbb{R}\end{array}}\\\\$

Resolução

⠀⠀Dado uma equação definida por $\boldsymbol{(m-1)x^2-4x-1=0}$ , cuja tem por coeficientes

a = m – 1
b = – 4
c = – 1

, onde desejamos calcular os valores reais de m, de modo que essa equação não admita raízes reais. Nós vimos, diante do supradito, que uma equação não terá raízes reais se Δ < 0. Logo, encontramos que:

$\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\Delta < 0\\\\b^2-4ac < 0\\\\(-\,4)^2-4\cdot(m-1)\cdot(-1) < 0\\\\16+4\cdot(m-1) < 0\\\\4m-4 < -\,16\\\\4m < -\,16+4\\\\4m < -\,12\\\\m < -\,\dfrac{12}{4}\\\\\!\boxed{m < -\,3}\end{array}}$

⠀⠀Portanto, m pode ser números reais menores que – 3 para que a equação não admita raízes reais. Logo a alternativa d. é a correta.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$