Question

Calcule o resto da divisão de $<var>\psi=1^{2007}+2^{2007}+3^{2007}+...+2006^{2007}+2007^{2007}</var>$ por 5.

Answer 1

Observe que:

 

$1^{2~007}\equiv1\pmod{5}$

 

$2^{2~007}\equiv3\pmod{5}$

 

$3^{2~007}\equiv2\pmod{5}$

 

$4^{2~007}\equiv4\pmod{5}$

 

$5^{2~007}\equiv0\pmod{5}$

 

$6^{2~007}\equiv1\pmod{5}$

 

Desta maneira, há um padrão, formado por $5$ números.

 

Desse modo, esta sequência: $1, 3, 2, 4, 0$, repete-se $401$ vezes, uma vez que $2~007=5\times401+2$ e, a soma dos números deste padrão é $1+3+2+4+0=10$.

 

Logo, podemos afirmar que:

 

$\psi\equiv1^{2~007}+2^{2~007}+\dots+2~007^{2~007}\equiv401\times10+1+3\equiv4~014\equiv4\pmod{5}$

 

E, portanto, o resto da divisão de $\psi$ por $5$ é $4$.