Question

Considere a função g:R→R definida por: g(x)=2+(x−5)³.
Mostre que 5 é um número crítico de g, mas que g não tem extremo local em x=5.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

$g(x)=2+{(x - 5)}^3$

Derivando a função, temos:

$g'(x)=(2+{(x - 5)}^3)'=(2)'+({(x - 5)}^3)'\\\\=0+3{(x - 5)}^2\\\\=3{(x - 5)}^2$

Logo, $g'(5)=3{(5 - 5)}^2=0$. Portanto $x=5$ é um ponto crítico.

Perceba que a derivada da função $g$ é igual ao quadrado de um número, vezes $3$. Isso significa que esse número sempre é positivo, pois o quadrado de qualquer número é positivo.

Logo, qualquer intervalo que você analisar que contenha o ponto $x=5$ , a função $g'$ é positiva e, consequentemente, $g$ é crescente. Para que $x=5$ seja um máximo ou mínimo local, deveria existir um intervalo no qual a função fosse crescente (ou decrescente), atingisse o ponto $x=5$, e depois fosse decrescente (ou crescente). No entanto isso não acontece, já que $g'(x)=3{(x - 5)}^2$ é sempre positivo e, consequentemente, $g(x)$ é sempre crescente.