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Explicação passo-a-passo:
Oi,
Não sei se indução é o método mais fácil, mas acho que com o que pensei deve ser o suficiente.
Observe que é necessário utilizar e destacar o fato de que:
a^ n = a * a^n-1
e também,
a¹ = a
(Perceba que é necessário assumir isso, e que isso não viola o que queremos provar)
Vamos induzir em n.
Ou seja, vamos tratar m como sendo uma constante.
Além disso, vamos assumir a diferente de 0, por motivos óbvios.
Como vamos provar por indução, vamos trabalhar apenas com números inteiros.
Ou seja,
Vamos provar para n >= 0 :
O caso base se sustenta, pois para n = 0
a^m * 1 = a^m+0 , verdade!
Vamos assumir então que seja verdade para n = k, ou seja:
a^ m × a^ k = a^ m+k
Para n = k+1, temos:
a^m * a^k+1 = a^m * a * a^k
Que por hipotese:
= a^ m+k * a = a^ m+k+1
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Claro que essa propriedade vale para todos os números reais também, provamos para n>= 0, porém é análogo para n<= 0.
E se você quiser provar para além dos números inteiros, então não acho q indução seja aconselhável, porém também não consigo pensar em mais nada agora, que possa fazer isso sair.
Espero que tenha entendido, se eu cometi algum erro avisa que eu corrijo =)