Question

Tenho a resposta, mas não sei desenvolver. Ajudem por favor. R= 3lnx - ln(x+3) + 2ln(x-1) + c

Answer 1

$\int\ { \frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } \, dx$

Usaremos o método das frações parciais. Aconselho dar uma pesquisada, caso ainda não tenha visto.

$\frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x}+ \frac{B}{(x+3)} + \frac{C}{(x-1)} \\ \\ = \frac{A(x+3)(x-1)+B.x(x-1)+C.x(x+3)}{x(x+3)(x-1)} \\ \\ = \frac{A( x^{2} +2x-3)+B( x^{2} -x)+C( x^{2} +3x)}{x(x+3)(x-1)} \\ \\ = \frac{Ax^{2} +2Ax-3A+Bx^{2} -Bx+Cx^{2} +3Cx}{x(x+3)(x-1)} \\ \\ =\frac{(A+B+C)x^{2} +(2A-B+3C)x-3A }{x(x+3)(x-1)}$

Comparando os dois numeradores das duas frações idênticas, chegaremos em um sistema para encontrar A, B e C:

$4 x^{2} -13x-9=(A+B+C)x^{2} +(2A-B+3C)x-3A \\ \\ A+B+C = 4 \\ 2A-B+3C=-13 \\ -3A= -9 \\ \\ -3A= -9 \\ 3A =9 \\ A= \frac{9}{3} \\ A = 3$

Conhecendo A, podemos resumir ainda mais o sistema para encontrar B e C:

$A+B+C = 4 \\ 2A-B+3C=-13 \\ \\ 3+B+C = 4 \\ 6-B+3C=-13 \\ \\ B+C = 1 \\ -B+3C=-19$

$B+C = 1 \\ -B+3C=-19 \\ \\ B = 1-C \\ \\ -B+3C=-19 \\ -(1-C)+3C=-19 \\ -1+C+3C=-19\\ 4C = -19+1\\ 4C = -18\\ C = - \frac{18}{4} \\ C = - \frac{9}{2} \\ \\ B = 1-C \\ B = 1-(- \frac{9}{2}) \\ B = 1+ \frac{9}{2} \\ B =\frac{11}{2}$

Então a integral se resume em:

$\int\ { \frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } \, dx = \int\ {\frac{A}{x}+ \frac{B}{(x+3)} + \frac{C}{(x-1)}} \, dx \\ \\ \int\ { \frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } \, dx = \int\ {\frac{3}{x}+ \frac{ \frac{11}{2} }{(x+3)} + \frac{ -\frac{9}{2} }{(x-1)}} \, dx \\ \\ \int\ { \frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } \, dx = \int\ {\frac{3}{x}+ \frac{11}{2}.\frac{ 1 }{(x+3)} -\frac{9}{2}.\frac{ 1 }{(x-1)}} \, dx$

Agora fica mais simples calcular:

$\int\ {\frac{3}{x}+ \frac{11}{2}.\frac{ 1 }{(x+3)} -\frac{9}{2}.\frac{ 1 }{(x-1)}} \, dx= \int\ {\frac{3}{x}} \, dx + \int\ {\frac{11}{2}.\frac{ 1 }{(x+3)}} \, dx - \int\ {\frac{9}{2}.\frac{ 1 }{(x-1)}}} \, dx \\ \\ = 3.\int\ {\frac{1}{x}} \, dx + \frac{11}{2}.\int\ {\frac{ 1 }{(x+3)}} \, dx - \frac{9}{2}.\int\ {\frac{ 1 }{(x-1)}}} \, dx \\ \\ = 3.ln(x) + \frac{11}{2}.\int\ {\frac{ 1 }{(x+3)}} \, dx - \frac{9}{2}.\int\ {\frac{ 1 }{(x-1)}}} \, dx$

Fazendo as seguintes substituições:

u = x+3
du = dx

v = x-1
dv = dx

$3.ln(x) + \frac{11}{2}.\int\ {\frac{ 1 }{u}} \, du - \frac{9}{2}.\int\ {\frac{ 1 }{v}}} \, dv \\ \\ 3.ln(x)+\frac{11}{2}.ln(u) - \frac{9}{2}.ln(v) \\ \\ 3.ln(x)+\frac{11}{2}.ln(x+3) - \frac{9}{2}.ln(x-1) + C$

Portanto, 

$\boxed{\boxed{ \int\ { \frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } \, dx = 3.ln(x)+\frac{11}{2}.ln(x+3) - \frac{9}{2}.ln(x-1)+C}}$

(Por onde consultei a resposta, está correto o que fiz)