Question

De quantas maneiras uma família de cinco pessoas pode sentar-se num banco de cinco lugares para tirar uma foto? E, se ficarem duas delas sempre juntas, em qualquer ordem?

Answer 1

Resposta:

120 e 48, respectivamente.

Explicação passo a passo:

O número de permutações simples de $n$ elementos é igual a

$P_{n}=n!$

Logo, o número de maneiras que uma família de 5 pessoas pode sentar-se em um banco de cinco lugares é igual a $5!=120$.

Se duas delas estão sentadas sempre juntas, podemos pensar nesse agrupamento de pessoas como um bloco — por exemplo, digamos que 1,2,3,4,5 representem as pessoas, e que 1 e 2 devam sentar-se sempre juntas; então o problema será o de dispor os objetos  {1,2}, 3, 4, 5.

Podemos permutar esse bloco, junto com as demais 3 pessoas restantes, de $4!=24$ formas distintas. Mas como esse bloco tem duas disposições possíveis, dependendo da ordem das pessoas, é necessário multiplicar o resultado por 2.

Logo, o número de maneiras que uma família de 5 pessoas pode sentar-se em um banco de cinco lugares,  com duas delas sempre juntas, em qualquer ordem, é igual a 48.