Question

Fazer uma divisão polinomial da seguinte integral

obs: só a divisão, eu tenho dificuldade pra fazer esse passo. Algum anjinho que possa me ajudar agradeço muito dou 5 estrelas e melhor resposta pra quem responder...

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Answer 2

O resultado da integral dada é $\displaystyle\mathsf{ln|x^2-1|+\frac{x^2+\ln|x-1|-\ln|x+1|}{2}+C.}$

Explicação

Deseja-se calcular a seguinte integral:

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{x^3+x+1}{x^2-1}\,dx.}$

Para isso, vamos fazer a divisão polinomial do integrando. Neste caso, temos $\mathsf{x^3+x+1}$  como dividendo (f) e $\mathsf{x^2-1}$ como divisor (g). Vamos chamar de q o quociente e de r o resto dessa divisão.

Vamos utilizar o método da chave (veja imagem anexa). Tal método consiste no seguinte:

i) Divida o termo de maior grau do dividendo pelo o de maior grau do divisor obtendo, assim, o primeiro termo de q. Neste caso, $\mathsf{\dfrac{x^3}{x^2}=x.}$

ii) Determine o primeiro resto  que é igual a $\mathsf{r_1=f-x\cdot g.}$ Desse modo, obtemos:

$\mathsf{r_1=x^3+x+1-x\cdot(x^2-1)}\implies\\\\\implies\mathsf{r_1=\diagup\!\!\!\!x^3+x+1-\diagup\!\!\!\!x^3+x}\implies\\\\\implies\boxed{\mathsf{r_1=2x+1}}$

Como o grau do primeiro resto é menor do que o do divisor, a divisão está concluída. Assim, $\mathsf{q=x}$ e $\mathsf{r=2x+1.}$ Consequentemente, podemos escrever

$\mathsf{x^3+x+1=(x^2-1)x+2x+1.}$

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral da seguinte maneira:

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{x^3+x+1}{x^2-1}\,dx=\int\frac{(x^2-1)\cdot x+2x+1}{x^2-1}\,dx}$

Separando o integrando em duas frações e depois repetindo esse processo na segunda parcela obtida, segue que:

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{x^3+x+1}{x^2-1}\,dx=\int\frac{(x^2-1)\cdot x+2x+1}{x^2-1}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\int\left[\frac{(x^2-1)\cdot x}{x^2-1}+\frac{2x+1}{x^2-1}\right]\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\int\left(x+\frac{2x}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\right)\,dx}$

Aplicando a regra da linearidade, vem que:

$\displaystyle\mathsf{=\int\left(x+\frac{2x}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\right)\,dx}\\\\\\\mathsf{=\int x\,dx+\int \frac{2x}{x^2-1}\,dx+\int \frac{1}{x^2-1}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\int x\,dx+2\int\frac{x}{x^2-1}\,dx+\int \frac{1}{x^2-1}\,dx}$

Sabe-se que $\displaystyle\mathsf{\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\,n\neq-1.}$ Desse modo:

$\displaystyle\mathsf{\int x\,dx+2\int\frac{x}{x^2-1}\,dx+\int \frac{1}{x^2-1}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\frac{x^2}{2}+2\underbrace{\sf\int\frac{x}{x^2-1}\,dx}_{I}+\underbrace{\sf\int\frac{1}{x^2-1}\,dx}_{II}}\quad\mathsf{(\ast)}$

Cálculo da integral I:

Vamos usar mudança de variável. Seja $\mathsf{u=x^2-1.}$ Então, $\mathsf{xdx=\dfrac{du}{2}.}$ Daí:

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{x}{x^2-1}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2}=}\\\\\\\mathsf{=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du=}\\\\\\\mathsf{=\frac{1}{2}\cdot\ln|u|=}\\\\\\\mathsf{=\frac{1}{2}\cdot\ln|x^2-1|}$

Vamos colocar a constante só no final.

Cálculo da integral II:

Vamos usar integração por frações parciais. De início, observe que:

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\int\frac{1}{(x-1)(x+1)}\,dx}$

Podemos escrever o integrando como:

$\displaystyle\mathsf{\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}}$

Dessa maneira, segue que:

$\displaystyle\mathsf{\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}}\\\\\\\mathsf{\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}}\\\\\\\mathsf{\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{Ax+A+Bx-B}{(x-1)(x+1)}}\\\\\\\mathsf{\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{(A+B)x+A-B}{(x-1)(x+1)}}$

Por igualdade de polinômios, tem-se o seguinte sistema:

$\begin{cases}\sf A+B=0&\sf (i)\\\\\sf A-B=1&\sf (ii)\end{cases}$

Resolvendo-o, encontramos $\mathsf{A=\dfrac{1}{2}}$ e $\mathsf{B=-\dfrac{1}{2}.}$ Por conseguinte,

$\displaystyle\mathsf{\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=}\\\\\\\mathsf{=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}=}\\\\\\\mathsf{=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}}$

Então a integral II fica:

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\int\left(\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}\right)\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\frac{1}{2}\underbrace{\sf\int\frac{1}{x-1}\,dx}_{III}-\frac{1}{2}\underbrace{\sf\int\frac{1}{x+1}\,dx}_{IV}}$

As integrais III e IV são facilmente resolvidas por mudança de variáveis. Fazendo isso, encontram-se $\displaystyle\mathsf{\int\frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|}$ e $\displaystyle\mathsf{\int\frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|.}$ Portanto,

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x-1|}$

Por fim, substituindo os resultados das integrais I e II em $\mathsf{(\ast),}$ temos nosso resultado.

$\displaystyle\mathsf{\int\frac{x^3+x+1}{x^2-1}\,dx=\frac{x^2}{2}+2\underbrace{\sf\int\frac{x}{x^2-1}\,dx}_{I}+\underbrace{\sf\int\frac{1}{x^2-1}\,dx}_{II}=}\\\\\\\mathsf{=\frac{x^2}{2}+\diagup\!\!\!\!2\cdot\frac{1}{\diagup\!\!\!\!2}\ln|x^2-1|+\frac{1}{2}\cdot\ln|x-1|-\frac{1}{2}\cdot\ln|x+1|=}\\\\\\\mathsf{=\frac{x^2}{2}+\ln|x^2-1|+\frac{1}{2}\cdot\ln|x-1|-\frac{1}{2}\cdot\ln|x+1|=}\\\\\\\mathsf{=ln|x^2-1|+\frac{x^2+\ln|x-1|-\ln|x+1|}{2}+C}$

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