Question

Determine a área do triângulo ABC, cujos vértices são: A (2, 2), B (1, 3) e C (4, 6).​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Você tem algumas formas de resolução, aqui explicitarei apenas duas.

1ª forma de resolução: Usando o determinante da matriz formada pelos vértices.

Sabemos que a área de uma região triangular é dada pelo módulo do determinante da matriz quadrada de ordem 3 formada pelos 3 vértices dessa região, dividido por 2. Logo temos:

2      2      1      2      2

1       3      1      1       3

4      6      1      4      6

S=|D|/2

D= (2*3*1+2*1*4+1*1*6)-(4*3*1+6*1*2+1*1*2)

D= (6+8+6)-(12+12+2)

D=20-26

D=-6

S=|-6|/2--->S=6/2--->S= 3 u.a (ua= unidades de área)

2ª forma: Fixando BC como base, achando a altura "h" determinado pela distância do vértice A ao lago BC, calculando o comprimento do lado BC(base) e calculando pela fórmula S=(bxh)/2. Logo temos:

Equação da reta suporte do lado BC(Chamaremos essa reta de reta "r"):

B(1,3) e C(4,6)

MBC= (6-3)/(4-1) ---> MBC= 3/3=1

Tomando um ponto Q(x,y) genérico pertencente a reta "r" (reta suporte do lado BC) temos:

A(1,3) Q(x,y) e MBC= 1

1*(x-1)=(y-3)--->x-1=y-3--->r:x-y+2=0 (Equação da reta suporte do lado BC)

Calculando o comprimento do lado BC dado pela distância entre os vértices B(1,3) e C(4,6):

DBC= √[(4-1)²+(6-3)²]--->DBC= √(3²+3²)--->DBC= √2*3²--->DBC= 3√2 u.c (uc= unidade de comprimento)

Calculando a distância do vértice A(2,2) a reta "r" temos:

A(2,2) r: x-y+2=0

DAr= |1*2-1*2+2|/√(1²+1²)]--->DAr= |2|/√2--->Racionalizando fica: DAr= √2 u.c (uc= unidade de comprimento)

Agora é só calcular a área da região triangular utilizando a fórmula> S=(bxh)/2

S= (3√2 *√2)/2--->S=(3*2)/2--->S= 3 u.a. (Ua= unidade de área)

Answer 2

• A área do triângulo ABC será igual a 3 unidades.

Para calcular a área do triângulo, devemos aplicar a seguinte fórmula:

   $\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boldsymbol{A_{\triangle} = \frac{|\ D\ |}{2} }\end{aligned} }$

• Onde o D será dado por:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boldsymbol{D=\left[\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right] }\end{aligned} }$

Substituindo na questão:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boldsymbol{D=\left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&3&1\\4&6&1\end{array}\right] }\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \underbrace{\boldsymbol{D=\left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&3&1\\4&6&1\end{array}\right] \begin{array}{ccc}2&2\\1&3\\4&6\end{array}}}_{\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boldsymbol{\underline{\underline{D= -6}}}\end{aligned} }}\end{aligned} }$

• Aplicando a fórmula:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boldsymbol{A_{\triangle} = \frac{|\ D\ |}{2} }\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boldsymbol{A_\triangle = \frac{|\ -6\ |}{2} }\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boldsymbol{A_\triangle = \frac{6}{2} }\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore \boxed{\boxed{\green{\boldsymbol{A_\triangle = 3\ un. }}}}\end{aligned} }$

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