Question

Obtenha o ponto de interseção entre as retas de equações:
a)x+y-2=0 e 3x-y+4=0
b)x-2y=0 e x+y-1=0

Answer 1

$a)\ x+y-2=0\ e\ 3x-y+4=0$

Montamos um sistema com as duas equações e encontramos os valores de x e y; essas serão as coordenadas do ponto de intersecção das retas:

$\left \{ {{x+y-2=0} \atop {3x-y+4=0}} \right.= \left \{ {{x+y=2} \atop {3x-y=-4}} \right. \Rightarrow 4x=-2\Rightarrow x=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$

Substituindo o valor de x em x + y = 2:
-1/2 + y = 2
y = 2 + 1/2
y = (2*2 + 1)/2
y = (4 + 1)/2
y = 5/2

Assim, as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas é P(-1/2, 5/2).


$b)\ x-2y=0\ e\ x+y-1=0\\ \\ \left \{ {{x-2y=0} \atop {x+y-1=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x-2y=0} \atop {x+y=1}} \right. \Rightarrow 3y=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{3}\\ \\ \\ x+y=1 \Rightarrow x+\dfrac{1}{3}=1 \Rightarrow x=1-\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\dfrac{3-1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\\ \\ \\ P\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)$

Answer 2

O ponto de interseção entre as retas de equações é: a) $(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$; b) $(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.

Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método da substituição.

a) Da equação 3x - y + 4 = 0 podemos dizer que y = 3x + 4.

Substituindo esse valor na equação x + y - 2 = 0, obtemos:

x + 3x + 4 - 2 = 0

4x + 2 = 0

4x = -2

x = -$\frac{1}{2}$.

Consequentemente, o valor de y é:

$y=3.(-\frac{1}{2})+4\\y=-\frac{3}{2}+4\\y=\frac{5}{2}$.

Portanto, o ponto de interseção entre as duas retas é $(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$.

b) Da primeira equação, temos que x = 2y. Substituindo esse valor na equação x + y - 1 = 0, encontramos:

2y + y - 1 = 0

3y = 1

y = $\frac{1}{3}$.

Consequentemente, o valor de x é:

$x=\frac{2}{3}$.

Logo, as coordenadas do ponto de interseção entre essas retas é igual a $(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.

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