Question

Observe a sequência dessa PG (1, 3, 7,…), cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é: *

Answer 1

Na verdade é uma sequência numérica recursiva. Em uma P.G. os números são multiplicados e somente multiplicados por uma razão.

Nos é informada a seguinte lei de recorrência:

$a_n=2a_{(n-1)}+1$

Leis de recorrência dependem do termo anterior para encontrarmos o próximo. Não sendo possível converter esta lei de recorrência para algo mais simples ou direto, seremos obrigados a calcular termo por termo até chegar no décimo (vou demonstrar desde o primeiro termo, mas pode começar já do 5º se você quiser, pois já temos a informação do valor do 4º termo):

$a_1=1$

$a_2=2a_1+1=2.1+1=2+1=3$

$a_3=2a_2+1=2.3+1=6+1=7$

$a_4=2a_3+1=2.7+1=14+1=15$

$a_5=2a_4+1=2.15+1=30+1=31$

$a_6=2a_5+1=2.31+1=62+1=63$

$a_7=2a_6+1=2.63+1=126+1=127$

$a_8=2a_7+1=2.127+1=254+1=255$

$a_9=2a_8+1=2.255+1=510+1=511$

$a_{10}=2a_9+1=2.511+1=1022+1=1023$

O décimo termo é 1023