Question

Dois inteiros positivos a e b são tais que a + b = 34 e o resto da divisão de a por b é 8.

Encontre os poss´ıveis valores para a e b.

Answer 1

Os valores procurados são a = 21 e b = 13.

Explicação

Deseja-se encontrar os valores de dois inteiros positivos a e b tais que a soma deles é 34 e o resto da divisão de a por b é 8.

Seja q o quociente da divisão de a por b. Temos, assim, o seguinte sistema:

$\large\begin{cases}\sf a+b=34&\sf(i)\\\\\sf a=bq+8&\sf (ii)\end{cases}$

Pelo algoritmo da divisão, sabemos que $\mathsf{0\leq 8<b,}$ ou seja, $\mathsf{b>8.}$

Some b a ambos os membros da equação (ii):

$\large\mathsf{a=bq+8}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\underbrace{\sf a+b}_{34}=bq+8+b}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{34=bq+b+8}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{b(q+1)=34-8}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{b\cdot(q+1)=26}$

Como b e q são números naturais, então b e q + 1 são fatores de 26. A forma fatorada de 26 é $\mathsf{2 \cdot 13.}$

$\large\begin{array}{r|l}\sf 26&\sf 2\\\sf 13&\sf 13\\\large\sf 1\end{array}\implies\sf 26=2\cdot 13$

Assim, têm-se b = 2 e q + 1 = 13 ou b = 13 e q + 1 = 2.  No entanto, lembre que b > 8. Desse modo, só resta a possibilidade b = 13 e q + 1 = 2.

Pela equação (i) do sistema, decorre que:

$\large\mathsf{a+b=34}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{a=34-b}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{a=34-13}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{a=21}$

Logo,

$\large\boxed{\boxed{\mathsf{a = 21}\quad\textsf{e}\quad\sf b=13.}}$

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Espero ter ajudado! :)