⚠️ Determinar a eq Diferencial Exata a seguir na imagen:
obs: preciso dos calculos
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Respostas
Olá, boa tarde.
Devemos resolver a seguinte equação diferencial exata:
Primeiro, lembre-se que uma equação diferencial da forma , em que
e
é exata se vale a igualdade:
.
Nesta equação, temos e
. Calculando suas derivadas parciais, devemos garantir que:
Para calcular estas derivadas, lembre-se que:
- A derivada é um operador linear, logo vale que:
e
.
- A derivada parcial de uma função é calculada em respeito à variável escolhida, considerando as outras variáveis como constantes.
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência:
.
- Consoante à regra acima, a derivada de uma constante é igual a zero.
Aplique a linearidade
Aplique a regra da potência
Confirmada que esta é uma equação diferencial exata, existirá uma função tal que
e
.
Integrando ambos os lados da primeira igualdade em respeito à variável , temos:
Substituindo , temos:
Para calcular esta integral, lembre-se que:
- A integral é um operador linear, logo vale que:
e
.
- Quando integramos uma derivada parcial, o resultado desta integral é calculado de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo:
, onde
é uma função dependente apenas de
.
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência:
.
Aplique a linearidade
Aplique a regra da potência
Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos
Então, utilizamos a segunda igualdade para encontrar a função
Aplique a linearidade e substitua a função
Aplique a regra da potência e calcule a derivada da função
Subtraia em ambos os lados da igualdade, de modo que tenhamos:
Então integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável
Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da potência
Substituindo este resultado na função , temos:
Fazemos , de modo que teremos:
Então, as soluções desta equação diferencial exata podem ser calculadas quando a função :
Subtraia em ambos os lados da igualdade e faça
Resolvemos a equação quadrática em :
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação no radical
Fatoramos a expressão no radical pondo em evidência e calculando a raiz
Simplifique a fração por um fator e faça
Separamos as soluções:
Estas são as famílias de soluções desta equação diferencial exata.