Question

⚠️ Determinar a eq Diferencial Exata a seguir na imagen:

obs: preciso dos calculos

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial exata:

$(2xy^2-3)\,dx+(2x^2y+4)\,dy=0$

Primeiro, lembre-se que uma equação diferencial da forma $M\,dx+N\,dy=0$, em que $M=M(x,~y)$ e $N=N(x,~y)$ é exata se vale a igualdade: $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$.

Nesta equação, temos $M=2xy^2-3$ e $N=2x^2y+4$. Calculando suas derivadas parciais, devemos garantir que:

$\dfrac{\partial}{\partial y}(2xy^2-3)=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^2y+4)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\partial_x(f(x)+g(x))=\partial_x(f(x))+\partial_x(g(x))$ e $\partial_x(c\cdot f(x))=c\cdot\partial_x (f(x))$.
• A derivada parcial de uma função é calculada em respeito à variável escolhida, considerando as outras variáveis como constantes.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\partial_x(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• Consoante à regra acima, a derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a linearidade

$2x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)-\dfrac{\partial}{\partial y}(3)=2y\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)+\dfrac{\partial}{\partial x}(4)$

Aplique a regra da potência

$2x\cdot2\cdot y^{2-1}-0=2y\cdot2\cdot x^{2-1}+0\\\\\\ 4xy=4xy~~\checkmark$

Confirmada que esta é uma equação diferencial exata, existirá uma função $\psi=\psi(x,~y)$ tal que $\dfrac{\partial \psi}{\partial x}=M$ e $\dfrac{\partial \psi}{\partial y}=N$.

Integrando ambos os lados da primeira igualdade em respeito à variável $x$, temos:

$\displaystyle{\psi=\int M\,dx}$

Substituindo $M=2xy^2-3$, temos:

$\displaystyle{\psi=\int 2xy^2-3\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• Quando integramos uma derivada parcial, o resultado desta integral é calculado de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int\partial_x(F(x,~y))\,dx=F(x,~y)-h(y)$, onde $h(y)$ é uma função dependente apenas de $y$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\psi=2y^2\cdot\int x\,dx-3\cdot\int1\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\psi=2y^2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+h(y)+C_1$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$\psi=x^2y^2-3x+h(y)+C_1$

Então, utilizamos a segunda igualdade para encontrar a função $h(y)$

$\partial_y(\psi)=N=\partial_y(x^2y^2-3x+h(y)+C_1)$

Aplique a linearidade e substitua a função $N$

$2x^2y+4=x^2\cdot\partial_y(y^2)-3x\cdot\partial_y(1)+\partial_y(h(y))+\partial_y(C_1)$

Aplique a regra da potência e calcule a derivada da função $h(y)$

$2x^2y+4=x^2\cdot2\cdot y^{2-1}-3x\cdot0+h'(y)+0\\\\\\ 2x^2y+4=2x^2y+h'(y)$

Subtraia $2x^2y$ em ambos os lados da igualdade, de modo que tenhamos:

$h'(y)=4$

Então integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $y$

$\displaystyle{\int h'(y)\,dy=\int4\,dy}$

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da potência

$h(y)=4\cdot \dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_2\\\\\\\ h(y)=4y+C_2$

Substituindo este resultado na função $\psi$, temos:

$\psi=x^2y^2-3x+4y+C_2+C_1$

Fazemos $C_2+C_1=C_3$, de modo que teremos:

$\psi=x^2y^2-3x+4y+C_3$

Então, as soluções desta equação diferencial exata podem ser calculadas quando a função $\psi=C_4,~C_4\in\mathbb{R}$:

$x^2y^2-3x+4y+C_3=C_4$

Subtraia $C_4$ em ambos os lados da igualdade e faça $C_3-C_4=C_5$

$x^2y^2-3x+4y+C_5=0$

Resolvemos a equação quadrática em $y$:

$y=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot x^2\cdot (-3x+C_5)}}{2\cdot x^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação no radical

$y=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+12x^3-4C_5x^2}}{2\cdot x^2}$

Fatoramos a expressão no radical pondo $4$ em evidência e calculando a raiz

$y=\dfrac{-4\pm\sqrt{4\cdot(4+3x^3-C_5x^2)}}{2\cdot x^2}\\\\\\\ y=\dfrac{-4\pm2\sqrt{4+3x^3-C_5x^2}}{2\cdot x^2}$

Simplifique a fração por um fator $2$ e faça $-\,C_5=C$

$y=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+3x^3+Cx^2}}{x^2}$

Separamos as soluções:

$\boxed{y=-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{\sqrt{4+3x^3+Cx^2}}{x^2}~~\bold{ou}~~y=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{\sqrt{4+3x^3+Cx^2}}{x^2}, C\in\mathbb{R}}$

Estas são as famílias de soluções desta equação diferencial exata.