Matéria: Matemática
Autor: belmiracuta73
Perguntado 4 anos atrás

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Equações trigonométricas: 2cos(3x+1)= √3

Respostas

respondido por: isabella11272

Resolver a equação matemática
Resolva para x

$\rm \: 2 \cos ( 3x+1 ) = \sqrt{ 3 }$

$\sf \: Divida \: ambos \: os \: membros \: da \: \\ \sf equação \: por \: 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm \: \cos ( 3x+1 ) = \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }$

$\sf \: Dado \: \cos ( t ) = \cos ( 2 \times \pi -t ) , a \: equação \\ \sf \: tem \: duas \: soluções \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm \: \cos ( 3x+1 ) = \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \rm \cos ( 2 \pi -(3x+1) ) = \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }$

$\sf \: Para \: isolar \: 3x + 1, \: use \: a \: função \: \\ \sf trigonométrica \: inversa \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm 3x+1= \arccos ( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } ) \: \: \: \: \: \: \: \\ \rm \cos ( 2 \pi -(3x+1) ) = \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }$

$\sf \: Simplifique \: a \: expressão \: matemática$

$\rm \: 3x+1= \arccos ( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } ) \: \: \: \: \\ \rm \cos ( 2 \pi -3x-1 ) = \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }$

$\sf \: Usando \: uma \: tabela \: trigonométrica, \\ \sf \: descubra \: o \: valor \: do \: ângulo \: de \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \: \arccos ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm \: 3x+1= \frac{ \pi }{ 6 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \rm \cos ( 2 \pi -3x-1 ) = \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }$

$\sf \: Para \: isolar \: 2π - 3x - 1, \: use \: a \: função \: \\ \sf trigonométrica \: inversa \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm \: 3x+1= \frac{ \pi }{ 6 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \rm 2 \pi -3x-1= \arccos ( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } )$

$\sf \: Dado \: que, \: cos(3x + 1) \: é \: periódica, \: some \\ \sf \: o \: período \: de \: 2 k \: π, \: k ∈ \mathrm{Z} \: para \: calcular \: \: \: \: \: \\ \sf \: todas \: as \: soluções \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm \: 3x+1= \frac{ \pi }{ 6 } +2 k π , k ∈ \mathrm{Z} \: \: \: \: \\ \rm 2 \pi -3x-1= \arccos ( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } )$

$\sf \: Usando \: uma \: tabela \: trigonométrica, \: \\ \sf descubra \: o \: valor \: do \: ângulo \: de \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \: \arccos ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm \: 3x+1= \frac{ \pi }{ 6 } +2 k π , \: k ∈ \mathrm{Z} \\ \rm 2 \pi -3x-1= \frac{ \pi }{ 6 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\sf \: Calcule \: o \: valor \: de \: x \: na \: seguinte \: equação$

$\rm \: x= \frac{ \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2k \pi }{ 3 } , \: k ∈ \mathrm{Z} \\ \rm2 \pi -3x-1= \frac{ \pi }{ 6 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\sf \: Dado \: que, \: cos(2 π - 3x - 1) \: é \: periódica, \\ \sf\: some \: o \: período \: de \: 2 k \: π, \: k ∈ \mathrm{Z} \: para \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf calcular \: todas \: as \: soluções \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm \: x= \frac{ \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2k \pi }{ 3 } , k ∈ \mathrm{Z} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \rm 2 \pi -3x-1= \frac{ \pi }{ 6 } + 2k π , k ∈ \mathrm{Z}$

$\sf \: Calcule \: o \: valor \: de \: x \: na \: seguinte \: equação$

$\rm \: x= \frac{ \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2k \pi }{ 3 } , k ∈ \mathrm{Z} \: \: \: \\ \rm x= \frac{ 11 \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } - \frac{ 2k \pi }{ 3 } , k ∈ \mathrm{Z}$

$\sf \: Dado \: - \frac{ 2k \pi }{ 3 } = \frac{ 2k \pi }{ 3 } \: \: então \: \: k ∈ \mathrm{Z}$

$\rm \: x= \frac{ \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2k \pi }{ 3 } , k ∈ \mathrm{Z} \: \: \: \\ \rm \: x= \frac{ 11 \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2k \pi }{ 3 } , k ∈ \mathrm{Z}$

$\sf \: A \: equação \: tem \: 2 \: soluções$

$\boxed{ \bf x= \left. \begin{cases} { \frac{ \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2k \pi }{ 3 } } \\ { \frac{ 11 \pi }{ 18 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2k \pi }{ 3 } } \end{cases} \right. , k ∈ \mathrm{Z}}$

Anexos:

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação trigonométrica é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \left\{x\in\mathbb{R}\:|\:x = \pm\left(\frac{\pi}{18} - \frac{1}{3}\right) + \frac{2k\pi}{3},\:\forall k \in\mathbb{Z}\right\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação trigonométrica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2\cos(3x + 1) = \sqrt{3}\end{gathered}$}$

Resolvendo a equação trigonométrica, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}2\cos(3x + 1) & = \sqrt{3}\\\cos(3x + 1) & = \frac{\sqrt{3}}{2}\\3x + 1 & = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ 3x + 1 & = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\\ 3x & = \frac{\pi}{6} + 2k\pi - 1\\3x & = \frac{\pi + 12k\pi - 6}{6}\\x & = \frac{\pi + 12k\pi - 6}{3\cdot6}\\x & = \frac{\pi - 6 + 12k\pi}{18}\\x & = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{2k\pi}{3}\end{aligned} $}$

✅ Desta forma, o conjunto solução da equação é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \left\{x\in\mathbb{R}\:|\:x = \pm\left(\frac{\pi}{18} - \frac{1}{3}\right) + \frac{2k\pi}{3},\:\forall k \in\mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$