Question

Três triângulos equiláteros de lado 1 cm estão enfileirados,
como indicado na figura a seguir. Nessas condições, determine o seno
do ângulo 0.

Answer 1

Resposta: $\sqrt{21} /14$

Explicação passo a passo:

Como cada lado vale 1cm, as bases também valem. Porém, como ele pediu seno (cateto oposto/ hipotenusa) nós precisamos achar esses valores, e para isso usamos o teorema de pitágoras traçando uma reta perpendicular de C até AB que chamaremos de H.

1.  Essa reta divide o triângulo equilátero CAB ao meio. Como a base toda desse triângulo valia 1, metade dele vale 1/2.

• Com essa informação e a de que o lado desse mesmo triângulo (CAB) vale 1, acharemos o valor de H.

1$1^{2}= H^{2} + \frac{1}{2}^{2} -> 1= H^{2} +\frac{1}{4} -> \frac{1}{1} -\frac{1}{4} = H^{2} -> \frac{4-1}{4} = H^{2} -> \frac{3}{4}= H^{2} ->\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{4} }=H -> \frac{\sqrt{3} }{2}=H$

• Ou seja, nossa reta H vale: $\frac{\sqrt{3} }{2}$

2. Para achar a base desse triângulo todo (CHF) precisaremos relembrar que as bases valem 1/2; 1 e 1 (respectivamente da esquerda pra direita).

• Dito isso, a soma dessas bases valem 2,5 que representado na fração fica-se $\frac{5}{2}$. Usaremos esse valor para fazer Pitágoras e achar o valor de CF (que é a hipotenusa do triângulo maior).                                                  

3. Como já temos o valor dos dois catetos (H: $\frac{\sqrt{3} }{2}$  e a soma das bases: $\frac{5}{2}$)    

• Agora é só resolver fazendo Pitágoras do triângulo maior (CHF) e encontrar o valor de CF.

$CF^{2} = (\frac{\sqrt{3} }{2}^{2}) + (\frac{5}{2} ^{2}) -> CF^{2} = \frac{3}{4} + \frac{25}{4} -> CF^{2}= \frac{28}{4} -> CF^{2}= 7 -> CF= \sqrt{7}$

4. Agora que já encontramos todos os valores, podemos resolver Seno Θ.

                    SENO= CATETO OPOSTO / HIPOTENUSA

• Cateto oposto: $\frac{\sqrt{3} }{2}$  e  Hipotenusa: $\sqrt{7}$

$Sen = \frac{\sqrt{3} }{2}/ \sqrt{7} -> Sen = \frac{\sqrt{3} }{2} . \frac{1}{\sqrt{7} } -> Sen= \frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{7} }$

• Racionalizando: $\frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{7} } . \frac{\sqrt{7} }{\sqrt{7} } -> \frac{\sqrt{21} }{14}$

resposta: Sen Θ=$\frac{\sqrt{21} }{14}$

OBS.: Espero ter ajudado, qualquer coisa pode me perguntar! Bons estudos =)