Question

a soma dos naturais positivos que divididos por 37 dão resto igual ao cubo do quociente é

Answer 1

Estamos procurando os números naturais $n,$ de forma que

$n=37\cdot q+r\,,\;\;\;\;\text{ com }r\in\{0,\;1,\;\ldots,\,35,\;36\}$

$q$ é o quociente da divisão de $n$ por $37,$

$r$ é o resto, portanto deve ser menor que $37.$


$\bullet\;\;$ Estamos interessados nos números $n,$ de forma que

$r=q^{3}$


Então, os números procurados são

$n=37\cdot q+q^{3}\,,\;\;\;\;\text{ com }q^{3}\in\{0,\;1,\;\ldots,\,35,\;36\}$


$\bullet\;\;$ Para $q=1,$ encontramos

$n=37\cdot 1+1^{3}\\ \\ n=37\cdot 1+1\\ \\ n=38$


$\bullet\;\;$ Para $q=2,$ encontramos

$n=37\cdot 2+2^{3}\\ \\ n=74+8\\ \\ n=82$


$\bullet\;\;$ Para $q=3,$ encontramos

$n=37\cdot 3+3^{3}\\ \\ n=111+27\\ \\ n=138$


$\bullet\;\;$ Para $q\geq 4,$ o resultado não se aplica, pois neste casso o resto seria maior que $37,$ o que não é possível. O resto nunca pode ser maior que o divisor.


$\bullet\;\;$ Sendo assim, encontramos três números:

$\{35,\;82,\;138\}$

A soma destes números é

$35+82+138=258.$